Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. “e”xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, “eÎ(0,1) $ze ÎE\L ║ze ║=1 r(ze, L)>1-e

Определение: Полное нормированное пространство – любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если “xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема: Чтобы L было плотно в H – ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – Ax-Ax0 при x – x0

Определение: L(X, Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор – “║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема: A – ограниченный -“xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен – чтобы он была ограничен

Теорема: {An } равномерно ограничена -{An }- ограничена.

Теорема: {An x} – ограниченно – {║An ║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An – A║-0, n-¥, обозначают An – A

Определение: Слабая сходимость – “xÎX ║(An – A)x║Y -0, n-¥

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость -{An } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза An – A n-¥ слабо – 1) {║An ║}- ограничена 2) An – A, x’ÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность – $a “x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность “t1 ,t2 $d: ║x(t1 )-x(t2 )║<e

Теорема: L(X, Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X* :=L(X, E)

Определение: Сопряженный оператор A* : Y* – X*

Теорема: Банаха A:X-Y и X, Y – полные нормированные пространства. Тогда $A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А – непрерывнообратимый если 1) A – обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1 – ограничен.

Теорема: A-1 $и ограничен -$m>0 “xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH “xÎH f(x)=(x, y)

Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -“e>0 $конечная e-сеть

Теорема: Арцела. MÌC[a, b] компактно – все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: s(X, Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. AÎs(X, Y) – A* Îs(X* ,Y* )

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

Кубическая норма

ромбическая норма

p>1

2. Пространства последовательностей

p>1

Или Пространство ограниченных последовательностей

Пространство последовательностей, сходящихся к нулю

Пространство сходящихся последовательностей

3. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

£p [a, b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

– пополнение £p [a, b] (Гильбертово)

Неравенство Гельдера P, q>0

Неравенство Минковского


Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу