Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a, b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a, b], если для всех значений х из этого промежутка вып – я F'(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a, b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫ f ( x ) dx ) . Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F'(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫ dF ( x ) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C. Так как ∫dF(x)= F'(x)dx, то ∫F'(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a, b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулойF(x)+C, С=const.

Док-во: F ( x )+ C – первообр, тогда ( F ( x )+ C )’= F ‘( x )+ C ‘= F ‘( x )= f ( x ) Ф(х) – – тоже первообразная: Ф'(х)=f(x), xЄ[a, b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф'(х)-F'(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ'(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a, b], тогда для каждого х1,х2 Є [a, b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k – const, ненулевое число, то ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx – k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т. е. F'(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF'(x)=kf(x). – k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫ f ( x ) dx = F ( x )+ C, то и ∫ f ( u ) du = F ( u )+ C, u =φ( x ) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен. ф-я. F(u)=F(φ(x)) – согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f'(x)dxy=f(u), u=φ(x)- непрерыв, диф-я dy=f'(x)dudF(u)=F'(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d (∫ f ( x ) dx )= f ( x ) dx – Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F'(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[ f ( x )± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx – неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

Ф-ийвотдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразныедляф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F'(x)+G'(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка).Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ'(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx ‘[φ(t)]φ'(t) =f[φ(t)]φ'(t), т. е. ф-я f[φ(t)]φ'(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ'(t)dt=F[φ(t)]+C, Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, =>получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ'(t)dt.

Дарбу : Mn =sup (f(x)); mn =inf (f(x)), xÎ(xi-1 ; xi ) Sρ =a Mn∆ xi – верхний; Sρ =a mn∆ xi – нижний; СВ – ВА :

1, “верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек0=< Sρ – I<e – для верх и ниж – Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v'(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) – u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]’-u'(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. -, и ф-я u(x)v'(x) имеет пер-ю на Х. Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx. Так как v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d ( uv )= udv + vdu ;∫ d ( uv )= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an-1 xn-1 +…+ a1 x1 +a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) ( Mx + n )/( x 2 + px + q ) k k >=2

Предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Qn ( x ) прав-ой рацион дроби, т. е. Qn ( x )=(х-а) k Õ n – k ( x ) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm (x)/Qn (x)=A/(х-а)k +Rs(x)/(х-а)k-1 Õn-k (x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x)=[A Õn-k (x)+ Pm (x)-AQn-k (x)]/[(х-а)k Õn-k (x)]=[ A Õn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)]+[ Pm (x)-AQn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)]=A/(х-а)k +[Pm (x)-AQn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm (x)- A Õn-k (x)=0; Pm (а)- A Õn-k (а)=0; Pm (а)≠0 и A Õn-k (а)≠0; A= Pm (а)/A Õn-k (а); Pm (x)- A Õn-k (x)=(x-a) Rs(x); Pm (x)/Qn (x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn-k (x)]= A/(х-а)k + Rs(x)/[(х-а)k-1 Õn-k (x)]; A= Pm (а)/Õn-1 (а).

1 4 . Если Qn ( x )= ( x 2 + px + q )µ Т n – µ ( x ), где p 2 -4 q <0, Т n – µ ( x ) мн-ен не делится на x 2 + px + q, то правильную рацион дробь Pm ( x )/ Qn ( x ) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm (x)/Qn (x) =(Mx+N)/ (x2 +px+q)µ +Фs(x)/[ (x2 +px+q)µ-1 . Тn-µ (x)],µ, N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x) =[(Mx+N) Тn-µ (x)+ Pm (x)-(Mx+N) Тn-µ (x)]//(x2 +px+q)µ Тn-µ (x)]= (Mx+N)/(x2 +px+q)µ + [Pm (x)-(Mx +N) Тn-µ (x)]/[ (x2 +px+q)µ Тn-µ (x)] для люб µ и N. x2 +px+q=0, D<0, x12 =α±iβ, µ и N: Pm (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*Tn-µ (α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm (α+iβ)] /[ Tn-µ (α+iβ)]=k + il. Система{ µ α+N =k=> N=k – α(L/b) µb=L=> m=L/bPm (x)/Qn (x)=(Mx+N)/(x2 +px+q)µ +Ф s ( x )/[ ( x 2 + px + q )µ-1 Т n – µ ( x )] конечному пределу при ранге разбиения – 0.

1 5 . Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r (x-b)s…(x2 +2px+q)t (x2 +2ux+v)z…, где a, b,.., p, q, u, v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2 +…. An/(x-a)n +…. (M1x+N1) / (x2 +2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2 +2px+q)2 +…+(Mkx+Nk)/(x2 +2px+q)k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

1 6 . Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an-1 xn-1 ++ a1 x1 +a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов:f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x2 +px+q)k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена)sinx=2t/(1+t2 ) cosx=(1-t2 )/ /(1+t2 )dx=2/(1+t2 )dt;∫R(2t/(1+t2 ), (1-t2 )/ /(1+t2 )) 2/(1+t2 )dt=∫Ř(t)dt

2) ∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3) ∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, – sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2 )|= ∫R(t)dt/(1+t2 )5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, – cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2 )| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin m x cos n xdx

A)m=2k+1 ∫sin 2k x cos n x sinxdx=∫(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2 )k t n dt

B)n=2k+1 ∫sin m x cos 2k x cosxdx= ∫sin m x (1-sin 2 x)k dsinx

7) ∫sin 2p x cos 2a xdx sin2 x=(1-cos2x)/2

Cos2 x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-ν замена t=tgx

1/ sin2 x=1+ ctg2 x 1/ cos2 x=1+tg2 x

9) ∫tgm xdx; ∫ctgm xdx, m-целое >0ое tg2 x=1/ cos2 x-1

Сtg2 x=1/ sin2 x-1

10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdxsinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

Sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a, b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения – 0.

Ax2 +bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2 )/(4a2 ) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk =>

Ax+b= cx tk + dtk =>x=…; dx=(…)dt

Заменапеременной: ∫f(x)dx=|x=φ(t); t=g(x); dx= φ'(t)dt|=∫f(φ(t)) φ'(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C

Интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu

∫xsinxdx=|u=x; du=dx; dv=sinxdx; v= – cosx|=-xcosx-∫-cosxdx= – xcosx+sinx.

Ф-цию вида R(x, m Ö(ax+b)/(cx+d) – называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=m Ö(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm = (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm )/(ctm – a) – рацион ф-ция от t; dx=(mtm-1 (ad-bc)dt)/(ctm – a)²ÞòR(x, m Ö(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm )/ (ctm – a),t) (mtm-1 (ad-bc)dt)/(ctm – a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, – квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трехчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖaÞax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b – рацион функ-ция от t Ч. Т. Д;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a, b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a, b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st (f, x1,…,xit)= aI=1ix f(xI)Dx; – интегральная сумма {Определение} Число I – называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a òb f(x)dx Если “E>0 $dE =d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | aI=1it f(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=lim s t | t | ® 0 . {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a, b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a, b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a, b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1 ,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xnjo }>0 | limn®¥ f(xnjo )=¥ Рассмотрим сумму st =aI=1it f(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +aI=1it f(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolimst (f, x1,…,x0n,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | st (f, x1,…,xjo(n) ,…,xit )>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $I=lim|t|®0 st Þ”E>0 $dE >0 | “t, |t|<dE и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt – I|<EÞ|dt |=|dt – I+I|<|dt – I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st |>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a, b]. Ч. Т. Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница a òb f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb -(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a, b] и Ф(х)-какая либо из ее первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)=a òx f(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a, b] $F(x)=Ф(х)+С; a òx f(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то a òа f(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þa òx f(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч. Т. Д.

18.Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для ” т х ÎE и “n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn-f.

Наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) – f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для “xÎE и “n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, “n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) – S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0 +a1 x+a2 x2 +… + an xn = (1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0 +a1 (x-x0)+a2 (x-x0)2 … + an (x-x0)n = (2)Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т. е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для ” х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти. Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = – R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0.Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r, r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f'(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6′) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

Где остаток rn (x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е “xÎU(x0) |f(n) (x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции ех ряд Маклорена. радиус сх-ти: R=¥ следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x)a наз. биномиальный ряд с показ-ем a.

Разложение ф-ции ln(1+x)

Сх-ся при -1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

Сх-ся при -1<=x<=1.


Основные понятия математического анализа