Пирамида и призма

Общий исторический обзор

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI – V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н. э., но они были вытеснены “Началами” Евклида.

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 – 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII – XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. В XVIII – XIX вв. развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик – Ж. В. Понселе (XIX в.).

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

Первоначальное понятие о многогранниках.

Многогранники и их элементы.

Проблемы нам создают не те вещи,

Которых мы не знаем, а те, о которых мы

Ошибочно полагаем, что знаем.

В. Роджерс

Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников.

В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым[1] , если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники.

Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника.

Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер.

ГраниВершиныРебра
Тетраэдр446
Куб6812
Октаэдр8612
Додекаэдр122030
Икосаэдр201230
Призма n – угольная2n3nN+2
Пирамида n – угольнаяN+12nN+1
Теорема Эйлера.

Для числа граней Г, числа вершин В и числа ребер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

Г+В – Р=2

Принцип Кавальери:Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, дает в сечении с ними равновеликие фигуры, то объемы таких тел равны.

Призма.

Определение. Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A 1 A 2 … An и B 1 B 2 … Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы (A 1 A 2 … An и B 1 B 2 … Bn ).

Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются ее боковыми гранями (An A1 B1 Bn )

Ребра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми ребрами (A1 B1 ; A2 B2 … An Bn )
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (h).
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы.
Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы.
Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.
В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники.

В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее высота равна диметру окружности, вписанной в основание.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех ее боковых граней.

S бок =Рп * /g /, где Рп – периметр перпендикулярного сечения, /g / – длина бокового ребра
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее гранейS полн =S бок +2 S осн

Объем призмы. Объемом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.

Доп. справка: в геометрии принято:

– За единицу объема принимают объем куба с ребром единичной длины.

– Равные тела имеют равные объемы

– Объем объединения нескольких неперекрывающихся (т. е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объемов

– Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго

V=S осн *h
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.S бок = P осн *h

Частным случаем призмы является параллелепипед – призма, основанием которой служат параллелограммы.

Основные свойства параллелепипеда:

1. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

3. сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

4. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то параллелепипед называется прямоугольным. В нем все диагонали равны между собой.

Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым.

Куб также является частным случаем призмы.

Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Объем параллелепипедаV=S*h
Объем прямоугольного параллелепипедаV=abc
Объем кубаV =a3
Диагональ прямоугольного параллелепипедаD 2 = a 2 + b 2 + c 2 , где d – диагональ, a, b, c – ребра

Пирамида.

Слово “пирамида” в геометрию ввели греки,

Которые, как полагают, заимствовали его

У египтян, создавших самые знаменитые

Пирамиды в мире. Другая теория выводит

Этот термин из греческого слова “пирос”

(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,

Имевшие форму пирамиды.

Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1 A2 …An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Этот n – угольник A1 A2 …An называется основанием пирамиды.
Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A2 PA3 , …, An PA1 )
Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P).
Ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются ее боковыми ребрами (PA1 , PA2 , …, PAn )
Объединение боковых граней пирамиды называется ее боковой поверхностью.
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН).

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу.

Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n – угольной.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны (т. о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).

Некоторые свойства правильной пирамиды:

– Все боковые ребра равны между собой

– Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники

– Все двугранные углы при основании равны

– Все плоские углы при вершине равны

– Все плоские при основании равны

– Апофемы боковых граней одинаковы по длине

– В любую правильную пирамиду можно вписать сферу

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.S полн = S бок + S осн
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.
Площадь боковой граниS бок. гр. =1/2* m * /g /, где m – апофема, /g / – основание грани
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.S бок =1/2 * ( P осн * m ), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания.
Объем пирамиды.V=(1/3)*S осн *h

Усеченная пирамида.

Определение. Усеченная пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A1 A2 …An и B1 B2 …Bn (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и nчетырехугольников A1 A2 B2 B1 , A2 A3 B3 B2 , …, An A1 B1 Bn.

Усеченная пирамида является частным случаем пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении ее плоскостью (A1 A2 …An и B1 B2 …Bn ).
Отрезки A1 B1 , A2 B2 , …, An Bn называются боковыми ребрами усеченной пирамиды.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды (СН).
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Усеченную пирамиду с основаниями A1 A2 …An и B1 B2 …Bn обозначают так: A1 A2 …An B1 B2 …Bn.
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.
Высоты этих трапеций называются апофемами (КК1 )
Свойства усеченной пирамиды:

1. Боковые ребра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки

2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании

3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований.
Площадь поверхности усеченной пирамидыS =(1/2)* m *( P + P 1 ), где m – апофема
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.S бок =1/2*(Рв +Рн )* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований
Объем усеченной пирамиды:V=(1/3)*h*(S1 + √ S1 S2 +S2 ), где S1 , S2 – площади оснований.
Площадь боковой граниS бок. гр. =1/2* m *( g + g 1 ), где m – апофема, g, g 1 – основания боковой грани

Тетраэдр.

Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды.

Тетраэдр является частным случаем пирамиды.

Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCAобозначается так: DABC
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.
Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются ребрами.
Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра.
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями.
Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней.
Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным.
Свойства равногранного тетраэдра:Описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный развертка тетраэдра, полученная при разрезании его по трем сходящимся в одной вершине ребрам, – треугольник у него имеются три оси симметрии все трехгранные углы равны все медианы (тетраэдра) равны все высоты (тетраэдра) равны центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают радиусы описанных окружностей граней равны периметры граней равны площади граней равны
Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным

Для него выполняется своего рода “теорема Пифагора”:

S2 =S21 +S22 +S23

Тетраэдр, составленный из четырех равносторонних треугольников, называется правильным.
Объем правильного тетраэдра.V=(a3 * √ 2)/12
Радиус описанной сферы в правильном тетраэдреR=(a* √ 6)/4
Высота правильного тетраэдраH=(a* √ 6)/3
Площадь поверхности правильного тетраэдраS=a2 * √ 3
Радиус вписанной окружности правильного тетраэдраR = (a* √ 6)/12

Список используемой литературы

Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996 Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994 Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995 Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996

[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.


Пирамида и призма