Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

З дисципліни

“Математичне програмування”

Завдання 1

1) Побудувати математичну модель задачі лінійного програмування.

2) Звести дану задачу до канонічного вигляду.

Діва вироби В1 і В2 обробляються послідовно на трьох верстатах. Кожний виріб типу В1 потребує 1 год. для обробки на першому верстаті, 2 год. – на ІІ-му і А год. – на третьому.

Кожний виріб В2 потребує для обробки 2 год, А год. і 3 год. відповідно на І-му, ІІ-му і ІІІ-му верстатах.

Час роботи на першому верстаті не повинен перевищувати 10N год., на ІІ-му – 15N год., на ІІІ-му – 50 год.

Скласти план виробництва при максимальному прибутку, якщо відомо, що продаж одного виробу типу В1 приносить прибуток 5 грн., а типу В2 – 3 грн.

Примітка : А=, тобто А=.

Розв’язання.

Типи

Верстатів

Затрати часу, год

Час роботи,

Год

В1

В2

І в

1

2

60

ІІ в

2

А

90

ІІІ в

А

3

50

Прибуток, грн

5

3

1) Математична модель задачі.

Позначимо кількість виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2 .

Цільова функція (величина прибутку), яку потрібно максимізувати

Спеціальні обмеження задачі визначаються обмеженнями часу роботи верстатів і нормативами часу обробки виробів на верстатах. При обсягу випуску виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2 і заданих нормативах часу обробки час роботи першого верстату дорівнює

Час роботи другого верстату

Час роботи третього верстату

Спеціальні обмеження є наступними:

Загальні обмеження задачі витікають з природи економічних змінних і полягають у тому, що вони не можуть мати від’ємні значення, тобто

Отже маємо математичну модель задачі:

За умов

Словесно задача формулюється таким чином: знайти значення змінних х1 та х2 , які задовольняють заданій системі обмежень і доставляють максимальне значення цільовій функції Z.

2) У канонічній формі задачі лінійного програмування спеціальні обмеження подаються рівностями. Перехід до канонічної форми здійснюється шляхом введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. В даному випадку до першого обмеження вводиться змінна х3 , до другого – х4, до третього – х5. Додаткові змінні вводяться зі знаками “+”, оскільки обмеження мають тип ““. Математична модель задачі у канонічній формі:

За умов

Завдання 2

Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом

За умов

Розв’язання.

В декартовій системі координат х1 Ох2 будуємо прямі, які визначаються нерівностями системи обмежень. Це прямі ; ; . Кожна пряма ділить площину х1 Ох2 на дві половини, в одній з яких виконується відповідна нерівність системи обмежень, а в іншій не виконується. Півплощини, в яких виконуються нерівності системи обмежень позначені штриховою біля прямих. Переріз цих півплощин являє собою область припустимих планів задачі. Це – чотирикутник ОАВС.

Цільова функція визначає сімейство паралельних прямих ліній з різними значеннями параметра z. При z=0 маємо пряму , що проходить через початок координат. Збільшенню значення параметра z відповідає переміщення прямої цільової функції у напрямку, позначеному вектором n+ . Безпосередньо з креслення видно, що максимальному значенню параметра z (максимуму цільової функції при заданих обмеженнях) відповідає точка припустимої області, яка є вершиною В чотирикутника ОАВС (це остання точка припустимої області, яка належить прямій цільової функції z при її переміщенні у напрямку збільшення параметра z ). Координати (х1 , х2 ) цієї точки є шуканим оптимальним планом задачі.

З креслення визначаємо: .

Отже, оптимальним планом даної задачі є , цільова функція при цьому набуває максимального значення .

Завдання 3

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом повного виключення

Змінних з використанням розрахункових таблиць.

Будуємо розрахункову таблицю і обираємо за ведучий елемент а21 =1 (у таблиці виділений):

Х1

Х2

Х3

B

3

-2

2

-3

1

4

-1

0

4

-1

4

6

Перераховуючи елементи таблиці, виключаємо з першого і третього рівнянь (перший і третій рядки таблиці) змінну х1 , отримуємо

Х1

Х2

Х3

B

0

-14

5

-3

1

4

-1

0

0

-17

8

6

Обираємо за ведучий елемент а12 =-14 (у таблиці виділений) і, виконавши перерахунок, виключаємо змінну х2 з другого і третього рівнянь.

Отримуємо таблицю

Х1

Х2

Х3

B

0

1

-5/14

3/14

1

0

3/7

-6/7

0

0

27/14

135/14

Обираємо за ведучий елемент а33 =-27/14 (у таблиці виділений) і, виконавши перерахунок, виключаємо змінну х3 з першого і другого рівнянь. Отримуємо таблицю

Х1

Х2

Х3

B

0

1

0

2

1

0

0

-3

0

0

1

5

З останньої таблиці, яка відповідає системі рівнянь з повністю виключеними змінними, знаходимо розв’язок системи рівнянь:

Завдання 4

1) Розв’язати симплекс-методом задачу лінійного програмування, яка представлена у Завданні 2.

2) Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування.

3) Знайти розв’язок двоїстої задачі та дати економічну інтерпретацію отриманого розв’язку.

Розв’язання.

1) Задача лінійного програмування:

А) Зводимо задачу до канонічної форми введенням додаткових змінних х3 та х4 .

Б) Дана задача має початковий опорний план (0;0;6;6;), при якому цільова

Функція дорівнює нулю. У даному опорному плані базисними є додаткові змінні х3 та х4 , а змінні х1 та х2 є вільними.

В) Запишемо цільову функцію у вигляді, виразивши її через небазисні змінні,

Г) Будуємо симплекс-таблицю, в яку заносимо початковий опорний план:

Базисні змінні

Х1

Х2

Х3

Х4

B

Базисний розв’язок

Х3

-1

3

1

0

6

(0;0;6;6)

Х4

3

-1

0

1

6

Z

-1

-1

0

0

0

Даний опорний план не є оптимальним, оскільки рядок цільової функції містить від’ємні значення (коефіцієнти при змінних). Перехід до нового опорного плану, виконуємо шляхом заміни змінної х3 на змінну х2 . Вибір змінних для заміни базиса обумовлюється тим, що у записі змінної х3 через небазисні змінні (х1 та х2 ) коефіцієнт при змінній х2 має найбільше негативне значення (-3). Отже, ведучим елементом обираємо а12 =3 (у таблиці виділений).

В результаті перехунку таблиці, отримуємо другу таблицю:

Базисні змінні

Х1

Х2

Х3

Х4

B

Базисний розв’язок

Х2

1

0

2

(0;2;0;8)

Х4

0

1

8

Z

0

0

2

Отриманий опорний план не є оптимальним, оскільки рядок цільової функції містить від’ємне значення (а31 = ). Для переходу до нового базису і, відповідно нового опорного плану, обираємо ведучим елементом а21 = (він лежить у стовпчику, де знаходиться негативний коефіцієнт у виразі цільової функції, і є позитивним). В результаті перехунку, отримуємо наступну таблицю:

Базисні змінні

Х1

Х2

Х3

Х4

B

Базисний розв’язок

Х2

0

1

3

(3;3;0;0)

Х1

1

0

3

Z

0

0

6

Отриманий опорний план є оптимальним, оскільки у рядку цільової функції містять ся тільки позитивні значення.

Отже, оптимальний план є , цільова функція при цьому набуває максимального значення .

2)Двоїста задача лінійного програмування формулюється відносно двоїстих змінних у1 , у2 і утворюється шляхом транспонування матриці коефіцієнтів обмежень, взаємної заміни коефіцієнтів цільової функції і вільних членів системи обмежень і зміни типу нерівностей (>= на <= і навпаки), а також зміни критерія оптимізація цільової функції на протилежний (максимізація на мінімізацію і навпаки).

Двоїста задача:

2)Розв’язання двоїстої задачі виконуємо за допомогою процесора електронних таблиць MS Excel.

Створюємо робочий лист з математичною моделлю задачі, який наведено на малюнку:

Розв’язання здійснюється за допомогою надбудови Поиск решения. Вікно пошуку розв’язку, налаштоване для даної задачі показане на малюнку:

Розв’язок задачі (оптимальний план двоїстої задачі) міститься у комірках В2 (змінна у1 ), С2 (змінна у2 ):

У1 = 0,5; у2 := 0,5

Вікно MS Excel з розв’язком задачі:

Економічна інтерпретація задачі.

Будемо розглядати пряму задачу як задачу про оптимальне використання обмежених ресурсів. Підприємство виготовляє два види продукції П1 і П2 у кількостях х1 та х2 відповідно, використовуючи два види ресурсів Р1 та Р2, запаси яких обмежені і становлять 6 одиниць кожного; нормативи витрат ресурсів на одиницю продукції задані таблицею

П1

П2

Р1

-1

3

Р2

3

-1

Ціна реалізації одиниці кожного продукту становить 1 грошову одиницю. Потрібно скласти виробничий план, який максимізує дохід підприємства.

Математична модель прямої задачі:

За умов

Математична модель двоїстої задачі:

Економічна інтерпретація двоїстої задачі : двоїсті змінні у1 та у2 – це ціни ресурсів Р1 та Р2 відповідно, і, таким чином, задача полягає у визначенні таких цін використовуваних ресурсів, при яких загальна вартість їх буде мінімальною.

Отриманий оптимальний план двоїстої задачі показує, що оптимальною ціною ресурсів Р1 та Р2 є у1 =0,5 та у2 = 0,5 грошових одиниць.

Обидва ресурси використовуються повністю і є дефіцитними (оскільки їх двоїсті оцінки більші нуля у1 >0, у2 > 0). Обидва види продукції є рентабельними (оскільки х1 >0 і х2 > 0).

Двоїсті оцінки у1 =0,5 та у2 = 0,5 показують, що величина доходу підприємства (значення цільової функції прямої задачі) збільшиться на 0,5 при збільшенні величини на одиницю величини запасу кожного з ресурсів.

Список використаної літератури

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 1986.

2. Вітлінський В. В., Наконечний С. І., Терещенко Т. О. Математичне програмування: Навч.-метод. посіб. для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2001.

3. Кабак Л. Ф., Суворовский А. А. Математическое программирование. – К.: ИМКВО, 1992.

4. Калихман И. А. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Высш. шк., 1975.

5. Савчук М. В. Лінійне програмування: Навч. посібник. – К.: ІПК ДСЗУ, 2006.


Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування