Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел

Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.

П.1. Определение поля.

Определение. Пусть – кольцо с единицей 1. Элемент из множества называется обратным в кольце , если . называется обратным к .

Примеры.

Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как , элемент 5 необратим в кольце целых чисел. – обратимые элементы в кольце целых чисел

Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме .

Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме .

Определение. Поле – это кольцо , если:

– коммутативное кольцо (операция коммутативна)

– кольцо с единицей 1, единица .

Всякий ненулевой элемент кольца обратим.

Примеры полей.

– поле рациональных чисел.

– поле действительных чисел.

Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.

Поле Галуа – галуафилд. ; . Определим

Операции сложения и умножения:

И – бинарные операции, – унарная

Из этой таблицы видно, что операция – коммутативна, -бинарные операции, – унарная операция, т. к. , .

П.2. Простейшие свойства поля.

Пусть – поле. Обозначение: .

Если , то .

Доказательство. Пусть , докажем, что , то есть , тогда противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | , .

Если , . умножим равенство справа на , то есть .

.

Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства на слева, .

В поле нет делителей 0.

Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: , , значит нет делителей нуля.

Каждое поле является областью целостности.

Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.

.

Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на , где .

, где .

Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.

, где .

Доказательство. Правая часть равна левой части.

, .

Доказательство. Правая часть Левая часть.

, .

Доказательство. Левая часть .

, .

Если , то .

Доказательство. Вычислим произведение то есть обратный элемент к .

, где .

Доказательство. Левая часть равна равна правой части.

– коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.

Доказательство. Следует из свойств поля:

1. , так как поле.

2.

3.

4. , так как поле

Так как поле – это кольцо определенного вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.

П.3. Подполе.

Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.

Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.

Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции и подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.

П.4. Поле рациональных чисел.

Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:

Алгебра – это поле с единицей 1.

Множество замкнуто относительно операции и

Аксиома минимальности, если такое, что:

А)

Б) , тогда .

Список литературы

Е. Е. Маренич, А. С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В. Е. Маренич. Журнал “Аргумент”. Задачи по теории групп.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А. И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001


Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел