Полином Жегалкина

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра АПРиС

Курсовая работа

По дискретной математике

“Полином Жегалкина”

Выполнили:

Проверила:

Шерыхалина Н. М.

Уфа – 2008

Оглавление

Цель работы

Введение

Теоретическая часть

Алгоритм

Блок-схемы

Листинг программы

Тестирование программы

Заключение

Список использованной литературы:

Цель работы

Целью данной работы является изучение булевых функций, разработка алгоритма их представления в виде полинома Жегалкина и написания программы, реализующей этот алгоритм.

Введение

В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов.

Теоретическая часть

Полнота и замкнутость

Определение 1:Система функцийИз P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Пример:

1) Само множество ;

2);

3) – не полна.

Теорема 1. Пусть даны две системы функций из

, (I)

. (II)

Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.

Доказательство: Пусть . В силу полноты системы I, функцию h можно выразить в виде формулы .

По условию теоремы

Поэтому

ч. т. д.

Примеры:

1) – полная.

2) – тоже полная, так как .

3) – тоже полная.

4) – тоже полная, так как

,

,

. ((2) – I)

5) – неполная.

Докажем это от противного.

Предположим, что .

Но .

Противоречие.

6) – неполная (сохраняет константу 0).

6′) – полная.

7) – неполная (сохраняет константу 1).

8)

тогда взяв в качестве системы I систему 2) можно заключить, система функций 8) – полная. Тем самым, справедлива

Теорема Жегалкина. Каждая функция из может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):

,

Где . (1)

Имеем: число разных сочетаний равно числу подмножеств множества из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных полиномов Жегалкина равно , т. е. равно числу различных булевых функций.

Т. о. получаем единственность представления функций через полином Жегалкина.

Способы представления функции в виде полинома Жегалкина

1) Алгебраические преобразования

.

Пример:

2) Метод неопределенных коэффициентов

– искомый полином Жегалкина (реализующий функцию ).

Вектор из формулы (1) будем называть вектором коэффициентов полинома .

Нам нужно найти неизвестные коэффициенты .

Поступаем так. Для каждого составим уравнение , где – выражение, получаемое из (1) при . Это дает систему из уравнений с неизвестными, она имеет единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты полинома .

3) Метод, базирующийся на преобразовании вектора значения функции

Пусть – вектор значений функции.

Разбиваем вектор на двумерные наборы:

.

Операция T определена следующим образом:

.

Применяем операцию Т к двумерным наборам:

Используя построенные наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате применения операции Т к четырехмерным наборам, выделяемым из.

Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогично) к восьмимерным и т. д., пока не построим – мерный набор. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома .

Пример:

Пусть вектор значений функций = (0,0,0,1,0,1,1,1)

Полученный вектор является искомым векторов коэффициентов полинома .

Определение 2: Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества M. Обозначается [M].

Замечание. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.

Примеры.

1) M=P2, [M]=P2.

2) M={1,x1Åx2}, [M] – множество L всех линейных функций вида

, (ciÎ{0,1}).

Свойства замыкания:

1) Если М замкнуто, то [M]=M;

2) [[M]]=[M];

3) M1ÍM2 Þ [M1]Í[M2];

4) [M1ÈM2]Ê[M1]È[M1].

Определение 3. Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Примеры.

1) Класс M=P2 функционально замкнут;

2) Класс {1,x1Åx2} не замкнут;

3) Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).

Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.

Алгоритм

Булевой функция полином жигалкин

В данной программе был реализован метод неопределенных коэффициентов для построения полинома Жегалкина.

1. Получить таблицу истинности для определенного количества переменных;

2. Заполнить значения функции для каждого из наборов таблицы истинности;

3. Последовательно вычислить неизвестные коэффициенты;

4. Записать функцию в виде полинома Жегалкина с вычисленными коэффициентами.

X1X2X3F
000F1
001F2
010F3
011F4
100F5
101F6
110F7
111F8

.

Листингпрограммы:

#include<iostream. h>

#include<conio. h>

Int FuncVolume (int &;f)

{

Do {cout <<“Vvedite znachenit funkcii na dannom nabore :”<<endl;

Cin>>f;

If ((f!=0)&;&;(f!=1))

Cout<<“Error!!!Funkciya mojet prinimat’ znachenie libo 0 libo 1!\n”;

}

While ((f!=0)&;&;(f!=1));

Return f;

}

Void main()

{

Clrscr();

Const N=8;

Int m[5];

Int f[N],a[N];

For (int i =0; i<N; i++)

{

FuncVolume (f[i]);

}

A[0]= f[0];

A[3]=f[0]^f[1];

A[2]=f[0]^f[2];

A[1]=f[0]^f[4];

M[0]=f[1]^a[2]^a[3];

A[5]=m[0]^f[3];

M[1]=f[1]^a[1]^a[3];

A[6]=m[1]^f[5];

M[2]=f[1]^a[1]^a[2];

A[4]=m[2]^f[6];

M[3]=a[3]^a[4]^a[5];

M[4]=m[2]^m[3]^a[6];

A[7]=m[4]^f[7];

Cout<<“\n\nTablica istinnosti dlya dannoy funkcii : \n\n”;

Cout<<“x_1 x_2 x_3 f\n\n”;

Cout<<” 0 0 0 “<<f[0]

<<“\n 0 0 1 “<<f[1]

<<“\n 0 1 0 “<<f[2]

<<“\n 0 1 1 “<<f[3]

<<“\n 1 0 0 “<<f[4]

<<“\n 1 0 1 “<<f[5]

<<“\n 1 1 0 “<<f[6]

<<“\n 1 1 1 “<<f[7]<<“\n\n”;

Cout<<“\n\nZnachenie koefficientov v polimome Jigalkina : \n\n” ;

For (i=0; i<N;i++)

{

Cout<<“a_”<<i<<” “<<a[i]<<“\n”;}

Cout<<“Polinom Jigalkina dlya dannoy funkcii imeet vid : \n f = “<<a[0]

<<“^(“<<a[1]<<“*x_1)^(“<<a[2]<<“*x_2)^(“<<a[3]<<“*x_3)^(“<<a[4]<<“*x_1*x_2)^\n^(“<<a[5]<<“*x_2*x_3)^(“<<a[6]<<“*x_1*x_3)^(“

<<a[7]<<“*x_1*x_2*x_3)”;

Getch();

}

Тестирование программы:

На каждом наборе вводятся единицы, то есть функция является тождественной единицей. Простейшая проверка на правильность работы программы:

Так же реализована проверка на правильный ввод данных:

Заключение

В курсовой работе был реализован метод неопределенных коэффициентов для представления функции в виде полинома Жегалкина. По данному алгоритму на языке С++ была написана программа, результат которой был продемонстрирован.

Список использованной литературы

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука. – 1986

2. Н. А. Ахметова, З. М. Усманова Дискретная Математика. Функции алгебры логики учебное электронное издание – Уфа – 2004

3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.


Полином Жегалкина