Полуточка модель скорости

Полуточка: модель скорости

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и ее видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.

Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.

Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчета к другой:

(1)

Считается, что точка Принадлежит миру с временем :

(2)

В этой статье понятия системы координат и системы отсчета полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и ее состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:

(3)

Здесь величина Определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом Есть разность времен этих двух миров:

(4)

Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:

(5)

Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина Зависит от величины , и с течением Величина Испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин И :

(6)

Еще одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:

(7)

И

(8)

Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором – скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:

(9)

(10)

(11)

Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что ее можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:

(12)

(13)

Где через Обозначен оператор С вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:

(14)

Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А именно:

(15)

(16)

Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В силу того, что величина И ее приращение являются скалярами, имеем:

(17)

И в случае когда Мало, имеем:

(18)

(19)

Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:

(20)

Оставив члены первого порядка малости по :

(21)

Используя определение полуточки

Получим:

(22)

Положив точку функцией величины И сравнив с разложением ее в ряд Тейлора в окрестности , получим:

(23)

Это выражение и является определением скорости точки , если она движется во времени , испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:

(24)

Выражение (23) является скалярно-векторно сопряженным самому себе:

(25)

То есть абсолютное приращение точки Выполняется несмотря на произвольность величины Так, что точка Остается сама себе скалярно-векторно сопряженной.

Отметим также, что в силу свойства точки Верно равенство:

(26)

Далее…

Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины И Дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряженности самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.

Для понимания дальнейшего вывода представим величины И В виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:

(27)

Здесь индексом Обозначены главные части, а индексом – дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:

Сгруппировав главные и дуальные части, получим:

(28)

Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин , , И , оценим характер вклада в скорость точки Отдельных величин И . А также найдем их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.

Случай 1.

Зададим точку Как дуальный вектор с единичной главной частью:

(29)

А величину Как дуальный вектор с нулевой главной частью:

(30)

Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:

(31)

В силу того, что выбрано условие , имеем:

(32)

Таким образом, в приведенных выше условиях величина Является линейной скоростью приращения дуальной части . В силу того, что в состав величины Входит как полярная, так и дуальная части, то есть:

(33)

То в силу свойств функций И , определенных как

(34)

(35)

И имеющих свойства сопрягаться:

(36)

(37)

Имеем равенство для первого случая:

(38)

Или: величина Является линейной скоростью изменения вектора .

Случай 2. Выберем величины И Такими, что выполняются следующие условия:

(39)

Используя выражение (29) с этими условиями, получим:

(40)

В силу выбора И свойства (38) имеем:

(41)

И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:

(42)

Переведя величины И В векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:

(43)

Где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов И .

Или: величина Является угловой скоростью вращения вектора .

Таким образом, величины И Имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.

Целью настоящей работы было дать модель скорости и ее иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний И Здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвященной именно этому вопросу.

К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины И , а также отдельное исследование главной части точки . В данной работе рассматривалась лишь ее дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора , существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остается совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.


Полуточка модель скорости