Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

Министерство общего и

Профессионального образования РФ

Брянский Государственный

Технический Университет

Кафедра

“Высшая математика”

Расчетно-графическая работа №1

Вариант №103

Студент группы 97ДПМ-1

Копачев Д. В.

Преподаватель

Салихов В. Х.

Брянск 1997

1. Описание изделия

На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие – поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).

Дополнительные сведения:

Раствор конуса b = 300

Радиус цилиндра R = 5 см

Расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

Расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

2. Выбор системы координат

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат – вдоль оси второго конуса, ось аппликат – параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.

Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2

+ l = + 2 = 7.7 (см)

Таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

Вершина первого конуса имеет следующие координаты – (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса – (0; -7.7; 0).

3. Аналитическое описание несущих поверхностей

Уравнение цилиндрической поверхности:

(х +2)2 +(y+2)2 = R2 ( I )

Параметризация цилиндрической поверхности:

( II)

Определение положения шва на цилиндрической детали:

Потребуем, чтобы параметр uÎ. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = – l –.

Уравнение первой конической поверхности:

(x + 7.7)2 tg2 b = y 2 + z2( III)

Параметризация первой конической поверхности:

( IV)

Определение положения шва на первой конической детали:

Потребуем, чтобы jÎ [- p sin b ; p sin b ]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.

Уравнение второй конической поверхности:

(y+7.7)2 tg2 b=x2 +z2(V)

Параметризация второй конической поверхности аналогично первой ( IV ) :

(VI)

(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III ) , получаем уравнение:

(-2+Rcos+7.7)2 tg2 b=(-2+Rsin)2 +v2 , которое в дальнейшем преобразуется к виду:

V = v(u) = ±(VII)

Знак “+ ” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0 , знак “- ” – “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

6. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса

Подставляя параметризацию первого конуса(IV) в уравнение цилиндра( I) , получаемуравнение:

(-7.7+rcosb+2)2 +(rsinbcos+2)2 = R2

Преобразуем:

(rcosb-5.7)2 +(rsinbcos+2)2 = R2

R2 cos2 b-2*5.7*rcosb+32.49+r2 sin2 bcos2+4rsinbcos+4-R2 = 0

R2 (cos2b+sin2 bcos2)+2r(-5.7cosb+2 sinbcos)+36.49-R2 = 0

Отсюда

R=r(j)=( IX)

A(j)=1- sin2 bsin2 ;

B(j)=2(2sinbcos-5.7cosb);

C=36.49-R2 .

Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку “- ” в формуле(IX) , посторонняя.

7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса

Подставляя параметризацию первого конуса(IX) , в уравнение второго конуса(V) , получаем уравнение:

(rsinbcos+7.7)2 tg2 b=(-7.7+rcosb)2+r2 sin2 bsin2Квадратное уравнениеотносительно переменной r.

После упрощения получим:

R2 (sin2 bcos2Tg2 b – cos2 b-sin2 bsin2)+r(2d(sinbcos tg2 b+cosb))+d2 (tg2 b-1)=0

R=, (X)

Где а = sin2 bcos2Tg2 b – cos2 b – sin2 bsin2;

B = d(sinbcos tg2 b+cosb);

C = d2 (tg2 b-1).

8. Выкройка второго конуса

Она идентична выкройке первого конуса.

9. Расчет выкройки цилиндрической детали

Подставляем в формулу( VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколькоточек (u, v). Результаты отчета заносим втаблицу 1.

Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.

10. Расчет выкройки конических деталей

Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам( IX, X) . Результаты расчетов заносимвтаблицы 2 и 3.

Возьмем сектор радиуса r0 =26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали.

11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия

Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.


Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра