Представлення і перетворення фігур

ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК

Представлення точок здійснюється наступним чином:

На площині

У просторі

Перетворення точок.

Розглянемо результати матричного множення , що визначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду:

(3.1)

Дослідимо декілька часткових випадків.

1) а =d =1 і c =b =0.Змін не відбувається

. (3. 2 )

2) d =1, b =c =0. Зміна масштабу по осі x

. (3. 3 )

3) b =c =0. Зміна масштабу по осях x і y

. (3. 4 )

4) b =c =0, d =1, a =-1. Відображення координат відносно осі y

. (3. 5 )

5) b =c =0, a =d <0. Відображення відносно початку координат

.(3. 6 )

6) а =d =1,c =0. Зсув

. (3. 7 )

Для початку координат маємо інваріантно

.

Рис.3.1. Перетворення точок.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ

Пряма задана 2 векторами.

Вектори положення точок А і В рівні і .

Рис.3.2. Перетворення прямих ліній.

Матриця перетворення

.

Одержимо:

,(3. 8 )

.(3. 9 )

Альтернативне представлення лінії AB

.

Після цього множення матриці L на Т дасть

. (3.10)

Операція зсуву збільшила довжину лінії і змінила її положення.

ОБЕРТАННЯ

Розглянемо плоский трикутник ABC.

Здійснимо поворот на 90° проти годинникової стрілки.

Рис.3.3. Обертання і відображення.

Одержимо

.(3. 11 )

В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею

,

Поворот на 270° навколо початку координат – за допомогою матриці:

.

ВІДОБРАЖЕННЯ

Відображення визначається поворотом на 180° навколо осі, що лежить у площині ху.

1) Обертання навколо прямої y =x задається матрицею:

.

Нові вирази визначаються співвідношенням:

.(3. 12 )

2) Обертання навколо осі y =0 задається матрицею:

.

Нові вершини визначаються співвідношенням:

. (3.13)

ЗМІНА МАСШТАБУ

Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головної діагоналі матриці.

Якщо використовуємо матрицю Маємо збільшення в 2 рази.

Якщо значення елементів не рівні, то має місце спотворення.

Трикутник ABC перетворений за допомогою матриці . Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці . Маємо спотворення.

Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів.

ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІ КООРДИНАТИ

Введемо третій компонент у вектори точок і і .

Матриця перетворення матиме вигляд:

Перетворення фігура площина точка

.

Таким чином,

. (3.14)

Константи m, n викликають зсув x * і y * відносно x і y.

Матриця 3х2 не квадратна – вона не має оберненої матриці.

Доповнимо матрицю перетворення до квадратної

. (3.15)

Третій компонент не змінюється.


Представлення і перетворення фігур