Применение интегралов к решению прикладных задач

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования Московской области

Московский Государственный Областной Педагогический Институт

Физико-математический факультет.

Курсовая работа

На тему

Применение интегралов

К решению прикладных задач

Выполнил студент

Группы 3-М-2

Ширшов Вадим Алексеевич

Проверила

Воробьева Н. Г.

Орехово-Зуево.

2008

Содержание

Вступление.

1. Определенный интеграл.

1.1 Площадь криволинейной трапеции.

1.2 Объем тела.

1.3 Длина дуги.

1.4 Площадь поверхности вращения.

1.5 Нахождение статического момента и центра тяжести кривой.

1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоской фигуры.

1.7 Механическая работа.

2. Двойной интеграл.

2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области.

2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области.

2.3 Вычисление объема цилиндрического бруса.

2.4 Механические приложения.

3. Криволинейный интеграл.

3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.

3.2 Приложения к физическим задачам.

4. Поверхностный интеграл.

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением.

4.2 Площадь поверхности в общем случае.

5.Тройной интеграл.

5.1 Масса тела. Объем.

5.2 Замена переменной в тройном интеграле.

Заключение.

Вступление

Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализа уже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан со школьным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределенные и определенные интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождение площади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всего интегрального исчисления.

Интеграл площадь объем статический момент

1. Определенный интеграл

1.1 Площадь криволинейной трапеции

Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции (чертеж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой , имеющей уравнение , где – положительная и непрерывная в промежутке функция; снизу она ограничена отрезком Оси , а с боков – двумя ординатами и (каждая из которых может свестись к точке).

Чертеж 1.

Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об ее вычислении. С этой целью разобьем промежуток на части, вставив между a и b ряд точек . Обозначив через и , соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции в i – м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)

, .

Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертеж). Поэтому . Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе суммы имеют своим пределом интеграл , следовательно, ему и равна искомая площадь P = . (1)

Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (чертеж 2), уравнения которых и , то, рассматривая ее как разность двух фигур И , получим площадь названной трапеции в виде P = . (2)

Пусть теперь дан сектор AOB (чертеж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая AB задается полярным уравнением , где – положительная непрерывная в промежутке функция.

Чертеж 2. Чертеж 3.

Вставив между и (см. чертеж) значения , проведем соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции в и , то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P ). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут и .

В этих суммах и легко узнать суммы Дарбу для интеграла ; при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P ) квадрируема и P = . (3)

Примеры:

1). Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруэнтными параболами и (чертеж 4).

Очевидно, нужно воспользоваться формулой (2), полагая там , . чертеж 4.

Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдем абсциссу точки M пересечения обеих парабол, отличной от начала; она равна 2p. Имеем

.

2). Формула (1) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями , . . Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что при и при ): . (4)

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления , и учесть, что возрастает от До , когда убывает от до нуля, то найдем . Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили ее.

Чертеж 5.

3). Найти площадь одного витка архимедовой спирали (чертеж 6).

Имеем по формуле (3) , в то время как площадь круга радиуса будет . Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен еще Архимеду). чертеж 6.

4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой

, (чертеж 5). Имеем по формуле (4)

.

Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.

1.2 Объем тела

Начнем с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура ( P ), имеет объем, равный произведению площади основания на высоту: .

Возьмем многоугольники и , соответственно содержащиеся в (P ), так, чтобы их площади и стремились к P. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы и высоты H, то их объемы и будут стремиться к общему пределу , который и будет объемом нашего цилиндра

Рассмотрим теперь некоторое тело (V ), содержащееся между плоскостями и , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертеж 7). Допустим, что (чертеж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, – обозначим ее через P ( x ) – будет непрерывной функцией от x (для ).

Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертеж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертеж 8) или лежать одно вне другого (чертеж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объем, который выражается формулой . (5)

Для доказательства разобьем отрезок на оси x точками на части и разложим плоскостями , проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим i – й слой, содержащийся между плоскостями и (i = 0,1,…,n -1). В промежутке функция P (x) имеет наибольшее значение и . Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, , то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь , и содержать в себе наименьшее, с площадью . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты , то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут, соответственно, и .

Из входящих цилиндров составится тело (T ), а из выходящих – тело (U ). Их объемы равны, соответственно, и и, когда стремится к нулю , имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объем тела(V ).

Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением , где Непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную ее криволинейную трапецию вокруг оси x (чертеж 9а и 9б). Полученное тело (V ), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси x плоскость в виде концентрических кругов. Здесь , так что

.

Если криволинейная трапеция ограничена (чертеж 9)

И сверху и снизу кривыми и , то очевидно,

, (7)

Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путем сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.

В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело ( V ) имеет объем, то он выражается формулой (6).

Примеры: 1). Пусть эллипс вращается вокруг оси x. Так как , то для объема эллипсоида вращения найдем

.

Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси y, найдем выражение . Предполагая же в этих формулах , мы получим для объема щара радиуса r известное значение .

2). То же – для ветви циклоиды , (). Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки , в формуле . Именно:

.

3). Найти объем трехосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением (чертеж 10).

Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M ( x ) на этой оси, пересечет эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертеж 10).

, (x =const).

Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,

и ,

А площадь выразится так: .

Таким образом, по формуле (5) искомый объем .

1.3 Длина дуги

Для начала введем понятия о спрямляемой дуге и ее длины.

Рассмотрим на плоскости кривую AB, заданную параметрическими уравнениями , , (), (8)

Где функции и Предполагаются непрерывными. Будем считать, что точка A отвечает значению , а точка B значению . При этом пусть кратных точек на кривой нет, так что различным значениям параметра отвечают и различные точки кривой.

Если считать точки кривой (чертеж 11) расположенными в порядке возрастания параметра (т. е. из двух точек ту принимать за следующую, которая отвечает большему значению параметра), то этим на кривой создается определенное направление (чертеж 11). Возьмем теперь на кривой AB ряд точек , идущих одна за другой в указанном направлении. Им отвечает ряд возрастающих значений параметра . Впишем в кривую AB ломаную и обозначим через p ее периметр. Конечный предел s для периметра p, при стремлении к нулю наибольшей из сторон ломаной ( p ), называется длиной дуги : . Если такой предел существует, то сама кривая называется спрямляемой.

Перейдем непосредственно к выражению длины дуги интегралом.

Предположим дополнительно, что функции и , фигурирующие в уравнениях (8) незамкнутой кривой, имеют непрерывные производные и .

При этих условиях, как мы докажем, кривая спрямляема и длина дуги выражается формулой . (9)

Будем исходить из разбиения промежутка точками на части длины . Этим значениям t отвечают вершины ломаной , вписанной в дугу , и длину ее можно определить как предел периметра P ломаной при стремлении к нулю. Положим , и , .

Длина i – ого звена вписанной ломаной выразится так: .

Применив к приращениям И функции порознь формулу конечных приращений, получим:

, , причем о значениях И мы ничего не знаем, кроме того, что оба они содержатся между и . Имеем теперь , так что для периметра всей ломаной получается следующее выражение:

.

Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде на , то преобразованное выражение , очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (9). При стремлении к нулю эта сумма и будет своим пределом упомянутый интеграл. Для того, чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр P ломаной, достаточно обнаружить, что разность стремится к нулю.

С этой целью произведем оценку этой разности . Элементарное неравенство , если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам . Ввиду непрерывности функции , по любому заданному найдется такое , лишь только . Если взять все , так что и . Это и доказывает наше утверждение.

Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах , то, принимая x за параметр, из формулы (9), как ее частный случай, получим . (9а)

Наконец, и случай полярного задания кривой также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода , ; роль параметра здесь играет . Для этого случая , , так что и . (9б)

Примеры:

1). Парабола: . Приняв за начало отсчета дуг вершину O ( x =0) , для произвольной точки M c абсциссой x имеем:

2). Эллипс: . Удобнее взять уравнение эллипса в параметрической форме: , . Очевидно,

, где есть численный эксцентриситет эллипса. Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, .

Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом второго рода; как указывалось, этот факт послужил поводом для названия “эллиптический”.

В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл . Длина же всего обвода будет .

1.4 Площадь поверхности вращения

Рассмотрим вопрос о вычислении площади поверхности вращения. Вычислим площадь поверхности вращения, считая ее существующей и обладающей свойством аддитивности.

Пусть имеем на плоскости xy (именно в верхней полуплоскости) некоторую кривую AB, заданную уравнением вида , , , (10)

Где и – функции от параметра, непрерывные вместе со своими производными. Для простоты будем предполагать ее незамкнутой и лишенной кратных точек. Нам удобно ввести в качестве параметра дугу s, отсчитываемую от точки , и перейти к представлению , , (11)

Параметр s изменяется здесь от 0 до S, если через S обозначить длину всей кривой AB.

Задача состоит в определении площади Q поверхности, полученной от вращения кривой AB вокруг осиx. Роль независимой переменной играет .

Если выделить элемент ds кривой (чертеж 12), то его приближенно можно принять за прямолинейный и вычислять соответствующий ему элемент площади как площадь усеченного конуса с образующей ds и радиусами основания y и y + dy. Тогда, по известной из школьного курса формуле, . Впрочем, это еще не та формула, к которой мы стремимся – произведение двух бесконечно малых надо отбросить. Мы придем к линейной относительно формуле , откуда уже, “суммируя”, окончательно получим (12)

Где под y надлежит разуметь фигурирующую в (11) функцию.

Если вернуться к общему параметрическому заданию (10) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену переменной, преобразуем его к виду (чертеж 12)

. (12а)

В частности, если кривая задана явным уравнением , так что в роли параметра оказывается x, будем иметь:

. (12б)

Примеры:

1). Определить площадь поверхности шарового пояса.

Пусть полукруг, описанный около начала радиусом r, вращается вокруг оси x. Из уравнения круга имеем ; далее, , , . В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы и , по формуле (12б) будет , где h – высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса. В частности, при и , т. е. при , получаем площадь всей шаровой поверхности .

2). Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги циклоиды , .

Так как , , то

.

1.5 Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

Как известно, статический момент K материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению из массы m на расстояние d точки от оси. В случае системы n материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью, соответственно, на расстояниях от оси, статический момент выразится суммой .

При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону – со знаком минус.

Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместо суммы потребуется интеграл.

Остановимся на определении статического момента относительно оси x масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой AB. При этом иы предположим кривую однородной, так что ее линейная плотность (т. е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что =1 (в противном случае полученный результат лишь умножить на ). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто ее длиной, и понятие о статическом моменте приобретает чисто геометрический характер. Заметим, вообще, что когда говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой – без упоминания о распределении вдоль по ней масс, то всегда имеют ввиду статический момент (центр тяжести), определенный именно при указанных предположениях.

Выделим снова некий элемент кривой (масса которого также выражается числом ). Приняв этот элемент приближенно за материальную точку, лежащую на расстоянии y от оси, для его статического момента получим выражение . Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки A, получим . Аналогично выражается и момент относительно оси y : . Конечно, здесь предполагается, что y (или x ) выражено через s. Практически в этих формулах выражают s через ту переменную t, x или , которая играет роль независимой в аналитическом представлении кривой.

Статические моменты и кривой позволяют легко установить положение от центра тяжести . Точка C обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю “массу” S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси. В частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдем , , откуда , . (13)

Из формулы для ординаты центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем , откуда . Но правая часть этого равенства есть площадь Q поверхности, полученной от вращения кривой AB, в левой же части равенства обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси x, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме Гульдина:

Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести C кривой (чертеж 12).

Эта теорема позволяет установить координату центра тяжести кривой, если известны ее длина S и площадь Q описанной ею поверхности вращения. Вот тому примеры:

1). Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги AB (чертеж 13) круга радиуса r. Так как эта дуга симметрична относительно радиуса OM, проходящего через ее середину M, то ее центр тяжести C лежит (чертеж 13) на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние от центра O. Выбираем оси, как указано на чертеже, и обозначим длину дуги AB через s, а ее хорды – через h. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси x получается шаровой пояс, площадь поверхности Q которого равна . По теореме Гульдина та же поверхность равна , так что и . В частности, для полуокружности , и .

2). Определить центр тяжести ветви циклоиды (чертеж 5):

,

Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что . Учитывая же результаты примера 2) п.1.4., легко получить затем: .

1.6 Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру (чертеж 14), ограниченную сверху кривой AB, которая задана явным уравнением . Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что (чертеж 14) поверхностная площадь их (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Можно принять, что =1, т. е. что масса любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Чтобы определить статические моменты и этой фигуры относительно осей координат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. чертеж). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет . Для определения соответствующих элементарных моментов и предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести (т. е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси x на расстоянии , от оси y – на расстоянии ; последнее выражение можно заменить просто через x, ибо отброшенная величина , умноженная на массу , дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем , . Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам

, , (14)

Причем под y разумеется функция .

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты , центра тяжести фигуры. Если через P обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, , откуда

, . (15)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем .

Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вращения плоской фигуры около оси x (формула 6: ), левая же часть выражает произведение площади этой фигуры P на – длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:

Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры: .

Заметим, что формулы (14),(15) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (чертеж 2). Например, для этого случая, . (14а)

Если вспомнить формулу (2), то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

Примеры:

1). Найти статические моменты , и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой , осью x и ординатой, соответствующей абсциссе x. Так как , то по формулам (14)

, .

С другой стороны, площадь (по формуле 1) .

В таком случае, по формулам (15), ,.

Пользуясь значениями и , легко найти – по теореме Гульдина – объем тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть , то искомый объем будет .

2). Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды , и осью x. Воспользовавшись п.1.1. 4) и п.1.2. 2), по теореме Гульдина легко установить . По симметрии .

1.7 Механическая работа

Пусть точка M движется по прямой (этим случаем мы ограничимся для простоты), причем на перемещении s на нее вдоль той же прямой действует постоянная сила F. Из элементов механики известно, что тогда работа W этой силы выразится произведением . Чаще, однако, случается, что величина силы остается постоянной, а непрерывно меняется от точки к точке, и для выражения работы снова приходится прибегнуть к определенному интегралу.

Пусть путь s, проходимой точкой, будет независимой переменной. При этом предположим, что начальному положению A нашей точки M соответствует значение , а конечному B – значение (чертеж 15). (чертеж 15)

Каждому значению s в промежутке отвечает определенное положение движущейся точки, а также определенное значение величины F, которую, таким образом, можно рассматривать как функцию от s. Взяв точку M в каком-нибудь ее положении, определяемом значением s пути. Найдем теперь приближенное выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от s до , при котором точка M перейдет в близкое положение . В положении M на точку действует определенная сила F. Так как изменение этой величины при переходе точки из M в – при малом – также мало, пренебрежем этим изменением и, считая величину силы F приближенно постоянной, найдем для элемента работы на перемещении выражение , так что вся работа W представится интегралом

. (16)

Пример. Применим в виде примера формулу (16) к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укрепленным одним концом (чертеж 16).

С этим приходится иметь дело, например, при расчете буферов у железнодорожных вагонов.

Известно, что растяжение s пружины (если только пружина не перегружена) создает натяжение p, по величине пропорциональное растяжению, так что (чертеж 16) , где c – некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины (“жесткость” пружины). Сила, растягивающая пружину, должна преодолевать это натяжение. Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это затрачивается, то ее работа при возрастании растяжения от до выразится так:

.

Обозначив через P наибольшую величину натяжения или преодолевающей ее силы, соответствующую растяжению пружины (и равную ), мы можем представить выражение для работы в виде .

Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила P (например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое большая работа . Как видим, лишь половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической энергии.

2. Двойной интеграл

2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области

Возьмем функцию , представляющую прямоугольную область . Вычислим площадь данной области с помощью двойного интеграла. Разобьем промежутки и на части, вставляя точки деления

,

.

Тогда прямоугольник разложится на частичные прямоугольники (чертеж 17): . (чертеж 17)

Обозначим через и точные нижнюю и верхнюю границы прямоугольника

. Возьмем , тогда . Просуммируем , где s иS – суммы Дарбу. Если и устремить к нулю, то . Это и есть значение K площади: .

2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области

Рассмотрим область , ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: , , а с боков двумя ординатами и (чертеж 18).

Заключим область в прямоугольник , (чертеж 18) полагая , . Значение площади K площади в этом случае: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертеж 19):

. Наличие двучлена Наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:

, , площадь .

Благодаря симметрии, определим (чертеж 19) площадь части фигуры, т. е. . Полярное уравнение лемнискаты , , получаем , искомая площадь есть .

2.3 Вычисление объема цилиндрического бруса

Пусть непрерывная и положительная функция. Вычислим объем тела, которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – плоской фигурой на плоскости (чертеж 20).

1.Разобьем область на части: и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков. (чертеж 20)

2. Возьмем .

3. , где – площадь .

4. Получили интегральную сумму .

5. , где – длина наибольшего диаметра частичной области.

В итоге объем .

Пример: Найти объем тела, вырезанного цилиндром из сферы (“тело Вивиани”) (чертеж 21).

,

Где P есть полукруг в первом квадранте плоскости xoy, ограниченный линиями и . Перейдем к полярным координатам, тогда уравнение контура P будет при .

Таким образом, объем

.

2.4 Механические приложения

Пусть массы непрерывным образом распределены по области (P ), причем плотность в точке пусть будет . Тогда элемент массы , вся масса .

Элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат будут , ,

, . Отсюда

.

Получим координаты центра тяжести .

Пусть в пространстве дан брус. Его элементарные статические моменты будут

.

Отсюда координаты центра тяжести

.

Формулы для моментов инерции бруса относительно оси z и , – относительно плоскостей координат yz, zx:

.

Пример: Найти центр тяжести однородного эллипсоида , содержащийся в первом октанте (чертеж 22). (чертеж 22)

Область (P ) ограничена координатными осями и дугой эллипса , уравнение эллипсоида в явном виде

. Тогда

. Аналогично , . Объем . Найдем координаты центра тяжести .

3. Криволинейный интеграл

3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов

Запишем сначала формулу Грина: .

Если функции P и Q в формуле Грина подобрать так, чтобы , то двойной интеграл приведется к площади D.

Если и , то ,

Если и , то ,

Если и , то . Последняя формула является наиболее употребительной.

Пример: Найти площадь эллипса с полуосями a иb. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , . Тогда .

3.2 Приложения к физическим задачам

Работа силового поля. Пусть в каждой точке M плоскости xy на помещенную в нее единицу массы действует определенная сила . Данная плоскость называется силовым полем, а сила – напряжением поля. Из рисунка видно , .

Пусть точка M (x, y) движется и описывает некоторую непрерывную кривую (K ). Вычислим работу A, которую при этом движении совершают силы поля. В случае прямолинейного движения , где

В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы станем определять положение точки M на кривой (K ) длиной s дуги AM. Тогда . Просуммируем, работа выразится криволинейным интегралом первого типа: . Пусть – угол между направлением элемента и осью x, тогда . Окончательно работа силового поля выразится криволинейным интегралом второго типа: .

Плоское установившееся движение несжимаемой жидкости.

При таком движении все частицы, лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость. Скорость частицы жидкости зависит только от положения частицы, но не от времени.

Если обозначить угол, составленный вектором с осью x, через , а проекции этого вектора на координатные оси – через и , то . Количество Q жидкости, протекающей через кривую (K ) в определенную от нее сторону в единицу времени, запишется в виде криволинейного интеграла первого типа .

Так как , то . Перейдем к криволинейному интегралу второго типа .

4. Поверхностные интегралы

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением

Пусть поверхность задана явным уравнением , причем изменяются в квадрируемой области на плоскости , и в этой области имеет непрерывные частные производные и . Разложим область с помощью сетки кривых на элементы . Рассмотрим .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси , то она вырежет на поверхности элемент. Элемент соответствует элементу . Точка соответствует точке , где . Проведем в точке касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру , площадь которой служит приближением к площади элемента . Сумму можно считать приближением к площади поверхности . Площадь при стремящихся к нулю диаметров всех элементов или . Отсюда , где – угол нормали к поверхности с осью . Если удовлетворяет точке , то для площадей плоских фигур и имеем , откуда . Получаем интегральную сумму . Исходя из того, что , площадь.

4.2 Площадь поверхности в общем случае

Рассмотрим простую гладкую поверхность , заданную параметрически. Для каждой точки поверхности явное уравнение заменяется явным же уравнением или . Отсюда следует, что вся поверхность разлагается на конечное число кусков . Вычислим площадь . . .

Замечание: Перейдем от параметров с областью изменения к параметрам с областью изменения по формулам , . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями , , . Обозначим , , – так называемые гауссовы коэффициенты. Так как , то .

Выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.

Пример: Найти площадь частей сферической поверхности , вырезанных из нее цилиндром .

Решение. , , , тогда , причем областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью .

В полярных координатах получим . Проинтегрировав, получим .

В сферических координатах, так как , , , то .

5. Тройной интеграл

5.1 Масса тела. Объем

Пусть дано некоторое тело , заполненное массами, и в каждой точке известна плотность распределения этих масс. Требуется определить всю массу тела.

Разложим тело на ряд частей: . Точка . Пусть в пределах части плотность постоянна и равна в выбранной точке. Тогда масса , масса всего тела . Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то или . Последнее выражение называется тройным интегралом.

Пусть дана функция в данном теле .

Если функция , то , где есть объем данного тела

. Вычисление тройного интеграла можно выполнить с помощью трех последовательных простых интегрирований.

Пример:

1). Вычислить интеграл , распространенный на тетраэдр , ограничиваемый плоскостями , , и (чертеж ). Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных

, отсюда

.

Итак, .

5.2 Замена переменной в тройном интеграле

Если функция и функции непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, и якобиан , то .

Частные случаи:

1). Цилиндрические координаты

, , .

.

Пример: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью .

, , пределы интегрирования .

.

2). Сферические координаты

, ,

.

Пример: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью

, пределы интегрирования

.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели основные виды интегралов и их вычисление, а также их применение к решению прикладных задач. С помощью теории интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных различными кривыми, объемов, ограниченных различными поверхностями, в том числе нахождение площадей и объемов тел вращения. А также описано нахождение длины дуги заданной кривой на данном отрезке. Представлены некоторые механические приложения для определенного и двойного интегралов: нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, плоской и объемной фигур, массы тела. Приведены физические приложения, например, нахождение механической работы, работы силового поля, рассмотрение вопроса о плоском установившемся течении несжимаемой жидкости. В работе приведены некоторые применения криволинейных и поверхностных интегралов.

Литература

1. Архипов Г. И. Садовничий В. А. Чубариков В. Н. “Лекции по математическому анализу”, 1999.

2. Виноградова И. А. Олехник С. Н. Садовничий В. А. “Задачи и упражнения по математическому анализу”, Часть 1, 1988.

3. Виноградова И. А. Олехник С. Н. Садовничий В. А. “Задачи и упражнения по математическому анализу”, Часть 2, 1991.

4. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”, 1997.

5. Запорожец Г. И. “Руководство к решению задач по математическому анализу”, 1966.

6. Зорич В. А. “Математический анализ”, Часть 1, 1997.

7. Зорич В. А. “Математический анализ”, Часть 2, 1984.

8. Матвеев Н. М. “Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений”, 1967.

9. Нахман А. Д., “Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. Учебно-методические разработки. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2006.

10. Никольский С. М. “Курс математического анализа”, Часть 1, 2, 1983.

11. Рудин У. “Основы математического анализа”, 1966.

12. Шведов И. “Математический анализ. Часть 1. Функции одной переменной”.

13. Шведов И. “Математический анализ. Часть 2. Интегральное исчисление функций многих переменных “.

14. Шилов Г. Е. “Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных)”, Части 1-2, 1972.

15. Шилов Г. Е. “Математический анализ (функции одного переменного)”, Часть 3, 1972.


Применение интегралов к решению прикладных задач