Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию

РЕШЕНИЕ

Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.

Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

А) Рвсем изделиям = Р(А)*Р(В)*Р(С)

Рвсем изделиям =0,7*0,9*0,8=0,504.

В) Ртолько одному =Р(А, В, С или А, В, С или А, В, С)

Ртолько. одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+

+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092

С) Рхотя бы одному =1 – Рни одному =1-Р(А)*Р(В)*Р(С)

Рхотя бы одному =1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.

11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.

РЕШЕНИЕ

Обозначим событие А – поступила заявка

По условию р=Р(А)=0,5

Q=P(A)=1-0,5=0,5

N= 9 к=6

А) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.

Р9(6)=*

Б) К1=5, К2=7

Р9(5≤m≤7)=P9 (5)+P9 (6)+P9 (7)

Р9(5)=*

Р9(7)=*

Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762

В) Рn (событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn

Р9 =1-0,59 =1-0,001953=0,998

Г) np-q≤K0 ≤np+p

9*0.5-0.5≤K0 ≤9*0.5+0.5

4≤K0 ≤5 K0 =5

K9 (5)=*0.55 *0.59-5 =

Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K0 =5 Р(K0 )=0,246.

21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:

Х8465
Р0,20,50,20,1

Решение

А) Найдем математическое ожидание Х:

М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.

Б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2 :

Х264163625
Р0,20,50,20,1

Найдем математическое ожидание Х2 :

М(Х2 )=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X2 )-[M(X)]2

D(X)=30.5-(5.3)2 =2.41

В) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55

31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

F(X

Решение:

А) = F(X

Б) М(х)=.

М(х2 )=.

D(x)=M(x2 )-[M(x)]2 =2-

В) построить графики функций F(x) и f(x):

41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения “Х-а” окажется меньше δ=3

Решение

А) воспользуемся формулой:

По условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно,

По таблице приложения 2: 0,4772;

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:

0,4772+0,49865=0,976065

Б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения “Х-а” окажется меньше δ=3, равна

Р(

Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.

Ответ: а)0,976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664.

51. Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99

Хi10,215,220,225,230,235,240,2
Ni31526541253

Решение

1. Объем выборки

N=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

Dв =2 – 2 , где =23,76

Средняя выборочная квадратов значений признака γ

=

Тогда Dв =598,87-(23,76)2 =34,33

Среднее квадратичное отклонение:

σв = σв =5,86

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение “σ” этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой

; ),

Покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, σ=σв =5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв =23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)

(22,37; 25,15).

Ответ: Хв =23,76; Dв =34,33; σв =5,86; а(22,37; 25,15).

61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yx и Xy. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Y\X51015202530Ny
35426
45538
55545555
6528717
7547314
Nx471057193N=100

Найдем условные средние воспользовавшись формулами:

Үx =Xy =

Yx=5 =Xy=35 =

Yx=10 =Xy=45 =

Yx=15 =Xy=55 =

Yx=20 =Xy=65 =

Yx=25Xy=75 =

Yx=30

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.

Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.

При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σх и σу. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Значение коэффициента линейной корреляции

ХNxX*nxX2 *nxYxX*nx *yx
542010035700
1077070042.142949.8
15101502250548100
205711402280057.865892
25194751187566.0531373.75
303902700756750
100194540425115765.55
YNyY*nyY2 *nyXyY*ny *xy
35621073506.671400.7
4583601620011.8754275
555530251663752060500
651711057182521.4723724.35
751410507875024.6425872
1005750340500115772.05

С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:

Х=

X2 =5

XY=

Y=57.5

Y2 =

σx ===

σy ===9.94

Отсюда коэффициент корреляции равен:

R=

Т. к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.

Т. к | r | > 0,78 то линейная связь высокая.

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

Yx -57.5=0.78*

Yx =1.52x+27.94

Аналогично находим уравнение регрессии X поY:

Xy -19.45=0.78*

Xy =0.4y-3.55

Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Yx для каждого значения x и аналогично среднее значение признака Xy для каждого значения y.

Изобразим полученные результаты графически.

Нанесем на график точки (х;ух ) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (ху ;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:

Х530
У35,5473,54

Yx =1.52x+27.94

Х10,4526,45
У3575

Xy =0.4y-3.55

Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5).

Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y:

ηух =

Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее.

Величины Называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:

Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:

Бх =

Бу =

Тогда корреляционные отношения равны:

ηух =

ηху =

Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:

Yx =1.52x+27.94,

Xy =0.4y-3.55.


Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности