Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений.

М. И. Векслер, Г. Г. Зегря

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.

Метод изображений состоит в замене системы “заряды + проводящая поверхность” на систему “заряды + изображения”. Правила построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности. Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси цилиндра:

Плоскость q → q’ = – q, l → l’ = l

Заземленная сфера q → q’ = – qR/l, l → l’ = R2/l

Цилиндр λ → -λ, l → l’ = R2/l

Если сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до бесконечности, где φ = 0).

Основным практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) – всю ее надо отобразить относительно плоскости.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на плоскость.

Ответ:

Задача. Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи плоскости.

Решение: Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем поле от нити-изображения -λ, далее векторно суммируем эти поля. После этого можно найти σ в любой точке как -ε0- Ewire+image.

Поле одной нити на расстоянии s от нее равно

И направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ():

Такое же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторном суммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, а перпендикулярные ей – удваиваются:

Соответственно, имеем плотность индуцированного заряда:

Проинтегрировав σ(x) по x от -∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет -λ, как и должно быть.

Задача. Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.

Ответ:

Задача. На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в наиболее удаленной от него точках шара.

Решение: По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд – qR/l в точку на оси “центр сферы – заряд q”, удаленную от центра на расстояние R2/l. Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет R-R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет

Enear

=

=

Сразу же находится σ:

Аналогично находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от заряда q направлено от центра, а от изображения – на центр. Сумма этих полей оказывается направленной к центру и по модулю равной:

Efar

=

Так что

Список литературы

1. И. Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. – 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. – 416 с.

2. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М. М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. – 503 с.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. – 661 с.


Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений