Расчет показателей надежности и законов их распределения

Федеральное агентство по образованию (Рособразование)

Архангельский государственный технический университет

Кафедра эксплуатации автомобилей и МЛК

(наименование кафедры)

Расчетно-графическая работа

По дисциплине

Основы теории надежности и диагностики

На тему

Расчет показателей надежности и законов их распределения

Руководитель

Кузнецов Н. И.

Архангельск

2009

Задание

По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:

– определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального

Ремонта;

– рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;

– определить коэффициент вариации ресурса;

– построить эмпирический закон распределения ресурса;

– подобрать теоретический закон;

– проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;

– определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.

1. Расчет параметров экспериментального распределения

Число классов статистического ряда определяем по формуле (11):

,

Где N – общее число наблюдений

Принимаем .

Размах выборки для нашего ряда

Значение классового промежутка находим по формуле (12):

Для удобства вычислений принимаем .

Середина классов W – полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.

Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:

Где h-принятая точность измерения случайной величины.

Результаты расчетов сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Cоставление статистического ряда

Границы классаСерединаЧастота
15,0917,0816,090,00
13,0915,0814,090,00
11,0913,0812,090,00
9,0911,0810,092,00
7,099,088,099,00
5,097,086,0916,00
3,095,084,0914,00
1,093,082,099,00
Всего50,00

2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения

Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле

(13)

Где А – условная средняя, середина модального или близкого к нему класса;

S1 – первая сумма,

А – условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках,

Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле

(14)

Где с – сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков,

;

S2 – вторая сумма,

Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3.

Таблица 2 – Вспомогательные вычисления для определения

WFAFaFa^2
16,0903,000
14,0902,000
12,0901,000
10,0920,000
8,099-1,0-99
6,0916-2,0-3264
4,0914-3,0-42126
2,099-4,0-36144
Всего50-119343

Таблица 3

S1S2XCСигмаV
-1193435,3359,782,210,414

3. Определение вида закона распределения случайной величины

Распределение экспериментальный случайный величина

Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:

– выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;

– производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям c2 или l.

3.1 Экспоненциальный закон распределения

Теоретические частоты для распределения определяют по формуле

,

Где – экспоненциальная функция, значения которой табулированы;

– условные отклонения середин классов,

.

Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1.

Таблица 4 – Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону

WFW-XX=Wi/X(Nk/X)*ℓF’
16,090,0010,763,020,0260,4880,00
14,090,008,762,640,0350,6571,00
12,090,006,762,270,4920,6571,00
10,092,004,761,890,0771,4351,00
8,099,002,761,520,1352,5383,00
6,0916,000,761,140,2374,4454,00
4,0914,00-1,240,770,4157,7828,00
2,099,00-3,240,390,73313,76014,00
Всего50,0031,7632,00

Рисунок 1 – Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения

3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений

Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.

Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий c2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле

Где c02 – стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v;

, – эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.

Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:

; ; .

Где r1,r2 – числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.

Крайние классы с частотой < объединяют с соседними классами ( – минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы)

Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований b1>= 0,999; при обычной b2 >= 0,99; при большой b3 >= 0,95.

Таблица 5 – Определение различий законов распределения

W1FF ‘F-f ‘(f-f ‘ )^2( f-f ‘ )^2/f ‘
16,100,49-0,490,240,49
14,100,66-0,660,430,66
12,100,66-0,660,430,66
10,121,440,560,320,22
8,192,546,4641,7516,45
6,1164,4411,56133,5330,04
4,1147,786,2238,664,97
2,1913,76-4,7622,661,65
Всего5031,76255,13

Следовательно, c02: 13,3; 18,5 при b соответственно, 0,99, 0,999

Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения.

3.2 Нормальный закон распределения

Таблица 6 – Выравнивание статистического ряда по нормальному закону

Нормальный закон
Теор частоты
WFW-XX=(W-Ч)/сигмаF(x)Nkf(x)/сигмаF’
16,090,0010,764,870,000,0000,00
14,090,008,763,970,000,0070,00
12,090,006,763,060,000,1670,00
10,092,004,762,150,041,7732,00
8,099,002,761,250,188,2778,00
6,0916,000,760,340,3817,02617,00
4,0914,00-1,24-0,560,3415,43115,00
2,099,00-3,24-1,470,146,1626,00
Всего50,0048,8448,00

Рисунок 2 – Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения

Таблица 7 – Определение различий законов распределения

W1FF ‘F-f ‘(f-f ‘ )^2( f-f ‘ )^2/f ‘
16,100,000,000,000,00
14,100,01-0,010,000,01
12,100,17-0,170,030,17
10,121,770,230,050,03
8,198,280,720,520,06
6,11617,03-1,031,050,06
4,11415,43-1,432,050,13
2,196,162,848,061,31
Всего5048,8421,77

Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999

Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.

3.3 Распределение Вейбула

Таблица 8 – Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула

WFWi /aX=af (Wi/a)

F’
16,090,002,741,213420,63620,6
14,090,002,401,471525,02625,0
12,090,002,061,513025,73125,7
10,092,001,721,359723,12423,1
8,099,001,381,079118,35218,4
6,0916,001,040,759012,90812,9
4,0914,000,700,46977,9888,0
2,099,000,360,24954,2434,2
Всего50,00138,01137,90

Рисунок 3 – Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула

Таблица 9 – Определение различий законов распределения

W1FF ‘F-f ‘(f-f ‘ )^2( f-f ‘ )^2/f ‘
16,1020,6-20,60424,3620,60
14,1025,0-25,00625,0025,00
12,1025,7-25,70660,4925,70
10,1223,1-21,10445,2119,27
8,1918,4-9,4088,364,80
6,11612,93,109,610,74
4,1148,06,0036,004,50
2,194,24,8023,045,49
Всего50137,900106,11

Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999

Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.

Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.

4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины

В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.

Требуется определить ошибку замены параметра Xего точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e> 0, для которого .

Это равенство означает, что с вероятностью Неизвестное значение параметра Xпопадает в интервал .

Интервал называется доверительным, а b – доверительной вероятностью.

Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле

,

Где tb – коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tb= 1,658)

Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:

Iβ=(4,812; 5,848)

Вывод :

Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.

Список использованных источников

1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. – Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. – 36 с.

2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. – Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. – 14 с.


Расчет показателей надежности и законов их распределения