Разбиения выпуклого многоугольника

П.1. Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить на треугольники диагоналями, которые пересекаются лишь в его вершинах. Вывести формулу для числа таких разбиений.

Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n-угольника на треугольники диагоналями, пересекающимися только в вершинах n-угольника.

Пусть P1 , P2 , … ,Pn – вершины выпуклого n-угольника, Аn – число его правильных разбиений. Рассмотрим диагональ многоугольника Pi Pn. В каждом правильном разбиение P1 Pn принадлежит какому-то треугольнику P1 Pi Pn, где1<i<n. Следовательно, полагая i=2,3, … , n-1, мы получаем (n-2) группы правильных разбиений, включающие все возможные случаи.

Пусть i=2 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит диагональ P2 Pn. Число разбиений, входящих в эту группу совпадает с числом правильных разбиений (n-1) угольника P2 P3 …Pn, то есть равно Аn-1 .

Пусть i=3 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит диагональ P3 P1 и P3 Pn. Следовательно, число правильных разбиений, входящих в эту группу, совпадает с числом правильных разбиений (n-2)угольника P3 P4 …Pn, то есть равно Аn-2.

При i=4 среди треугольников разбиение непременно содержит треугольник P1 P4 Pn. К нему примыкают четырехугольник P1 P2 P3 P4 и (n-3)угольник P4 P5 …Pn. Число правильных разбиений четырехугольника равно A4, число правильных разбиений (n-3) угольника равно

Аn-3. Следовательно, полное число правильных разбиений, содержащихся в этой группе, равно

Аn-3 A4. Группы с i=4,5,6,… содержат Аn-4 A5, Аn-5 A6, … правильных разбиений.

При i=n-2 число правильных разбиений в группе совпадает с числом правильных разбиений в группе с i=2,то есть равно Аn-1.

Поскольку А1 =А2 =0, А3 =1, A4 =2 и т. к. n³ 3, то число правильных разбиений равно:

А n= А n-1 +А n-2 +А n-3 A4 +А n-4 A5 + … + A 5 А n-4 + A4 А n-3 + А n-2 + А n-1.

Например:

A 5 = A4 + А3 + A4 =5

A6 = A5 + А4 + А4 + A5 =14

A7 = A6 + А5 + А4 * А4 +А5 + A6 =42

A8 = A7 + А6 +А5* А4 + А4* А5 +А6 + A7 =132

П.2.1. Найдем количество во всех диагоналей правильных разбиениях, которые пересекают внутри только одну диагональ.

Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений на (n-3)

Докажем предположение, что P1n =Аn (n-3)

Каждый n-угольник можно разбить на (n-2) треугольника, из которых можно сложить (n-3) четырехугольника, причем каждый четырехугольник будет иметь диагональ. Но в четырехугольнике можно провести 2 диагонали, значит в (n-3) четырехугольниках можно провести (n-3) дополнительные диагонали. Значит, в каждом правильном разбиении можно провести (n-3) диагонали удовлетворяющих условию задачи.

П.2.2. Найдем количество во всех диагоналей правильных всех разбиениях, которые пересекают внутри только две диагонали.

Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений на (n-4), где n ≥ 5

Докажем предположение, что P2n =(n-4)Аn, гдеn ≥ 5.

N-угольник можно разбить на (n-2) треугольников из которых можно сложить (n-4) пятиугольника, в котором будут содержаться две непересекающиеся диагонали. Значит, найдется третья диагональ, которая пересекает две другие. Так как имеется (n-4) пятиугольника, значит, существует (n-4) дополнительные диагонали удовлетворяющих условию задачи.

П.2.3. Разбиение n-угольника, в котором дополнительные диагонали пересекают главные k раз.

Определение 1 :Главными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали, которые разбивают его на треугольники, пересекаясь при этом только в вершинах n-угольника.

Замечание: их существует (n-3).

Определение 2 :Дополнительными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали, которые в данном разбиении пересекают главные диагонали.

Замечание: их существует менее (n-3).

I. Определение k:

Будем выделять из выпуклого n-угольника

Следующим образом: соединяем диагоналями через одну вершину данного n-угольника, причем выделением считается получение последующего a-угольника из предыдущего, используя не менее двух диагоналей. Выделение ведется до тех пор, пока не получится четырехугольник или треугольник (r = 4 или r = 3 (r – остаточный коэффициент)). Назовем каждое такое выделение циклом и введем величину, которая будет “считать” их (d). Для каждого d существует 2d+1 многоугольников, первый многоугольник для данного d, будет (2d+1 +1)-угольником. Для первой половины (для данного d) многоугольников r = 3, для второй – r = 4. Последним многоугольником, для которого r = 3 будет (3×2d )-угольником. Окончательно получаем: r = 3, если nÎ[2d+1 +1; 3×2d ], в противном случае r = 4. За каждый цикл, если проводить дополнительные диагонали, будет добавляться по 2 пересечения и через d циклов число пересечений достигнет максимума в полученном данным способом разбиении. Обозначим это число буквой k.

Итак, за 1 цикл 2 пересечения, за 2 цикла – 4, за 3 – 6, очевидна арифметическая прогрессия с разностью 2, a1=2 и количество членов равным d; значит k=2+2(d-1)=2d – только в том случае, если конечной фигурой окажется треугольник. В противном случае k=2d+1, так как четырехугольник имеет собственную диагональ.

Рассчитаем d: т. к.: d=1, n [22 +1; 23 ]

D=2, n [23 +1; 24 ]

D=3, n [24 +1; 25 ]

Зависимость d от n – логарифмическая по основанию 2; становится очевидным равенство: d=[log2 (n-1)]-1. Выразим k через n:

K=2([log2 (n-1)]-1), если nÎ[2[log2(n-1)] +1; 3×2[log2(n-1)]-1 ]

Или

K=2([log2 (n-1)]-1)+1= 2[log2 (n-1)]-1, если nÏ[2[log2(n-1)] +1; 3×2[log2(n-1)]-1 ]

Так как k – максимум пересечений, то уместны неравенства:

K≤2([log2 (n-1)]-1), если n Î [2[log2(n-1)] +1; 3 × 2[log2(n-1)]-1 ]

Или (*)

K≤2[log2 (n-1)]-1, если n Ï [2[log2(n-1)] +1; 3 × 2[log2(n-1)]-1 ]

II. Найдем число дополнительных диагоналей ( m), которые пересекают главные не более k раз.

Выделим в данном выпуклом n-угольнике (k+3)-угольник (k+3)-угольник (если это возможно), зн.

Уже ‘использовано’ (n+3)-2=k+1 всех

Отбросили существующих треугольников

1 треугольник n-угольника (всего их (n-2)),потом добавили другой ‘отбросим’ крайний треугольник и реугольник и ‘добавим’ к получившейся фигуре еще опять получили один, имеющий общую с ней сторону, (k+3)-угольник ‘не использованный’ треугольник, тогда останется (k+2) не использованных треугольника, и так далее до тех пор, пока не ‘используем’ все (n-2)треугольника. Очевидна арифметическая прогрессия с разностью 1, am =n-2 и c количеством членов равным m. Получим:n-2=k+1+(m-1)<=>n-2=k+m<=>m=n-k-2-m=n-(k+2)Значит, в n-угольник можно вписать (k+3)угольник (n-(k+2))раз, то есть существуют такие (n-(k+2)) дополнительные диагонали, которые пересекут k главных диагоналей.

Окончательно получаем: Pk n =( n – (k+2))А n, где(*).

Список литературы

Скращук Дмитрий (г. Кобрин). Разбиения выпуклого многоугольника


Разбиения выпуклого многоугольника