Решение экономических задач

Задание 1

Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части – шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:

Наименование составных частейВиды наборов
1234
Шар56810
Колокольчик3460
Мишура0358

В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья – стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице

Вид сырьяСоставные элементы
ШарКолокольчикМишура
Стекло500
Папье-маше040
Фольга3075

Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1 , x2, x3 и x4 штук;

2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4 =200.

Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1 , n2 и n3 – число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:

N1 = 5×1 + 6×2 + 8×3 + 10×4

N2 = 3×1 + 4×2 + 6×3

N3 = 3×2 + 5×3 + 8×4

Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1 , y2 и y3 – потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:

Y1 = 5n1

Y2 = 4n2

Y3 = 3n1 + 75n3

Теперь подставим вместо ni – полученные ранее равенства.

Y1 = 5- (5×1 + 6×2 + 8×3 + 10×4 ) = 25×1 + 30×2 + 40×3 + 50×4

Y2 = 4- (3×1 + 4×2 + 6×3 ) = 12×1 + 16×2 + 24×3

Y3 = 3- (5×1 + 6×2 + 8×3 + 10×4 ) + 75- (3×2 + 5×3 + 8×4 ) = 15×1 + 243×2 + 399×3 + 630×4

Проведем подсчеты для значений

X1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4 =200.

Y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.

Y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.

Y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.

Задание 2

Пусть aij – количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi – стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).

,

Решение:

Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:

A – X = B

Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1

A-1 – A – X = A-1 – B; E – X = A-1 – B; X = A-1 – B

Найдем обратную матрицу A-1

Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 – 15 * 9 * 8 – 6 * 5 * 1 – 12 * 10 * 11 = – 1017

;

=

X = = =

Решим систему методом Крамера

Δ = – 1017

Δ1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 – 216 * 9 * 8 – 238 * 5 * 1 – – 231 * 10 * 11 = – 9153

Δ2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 – 15 * 238 * 8 – 6 * 231 * 1 – 12 * 216 * 11 = – 7119

Δ3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 – 15 * 9 * 231 – 6 * 5 * 216 – 12 * 10 * 238 = – 11187

X1 = Δ1/ Δ = – 9153/ (- 1017) = 9

X2 = Δ2/ Δ = – 7119/ (- 1017) = 7

X3 = Δ3/ Δ = – 11187/ (- 1017) = 11

Решим систему методом Гаусса

=> => =>

=> => = >

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p1 , p2 – цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары – взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

Эластичность отрицательная, следовательно, первый товар – исследуемый.

Эластичность положительная, следовательно, второй товар – альтернативный.

Товары являются товарами заменителями, т. к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.

Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.

Проанализировав чертеж, сделайте выводы.

Месяц123456789101112
Товарооборот, (тыс. р)185,630,559,359,34296,472,656,85238,633

Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2 , Sу2 .

TYXYxX2Y2
118,01181324,0033,662
25,6211,2431,3636,089
330,5391,59930,2538,516
459,34237,2163516,4940,943
559,35296,5253516,4943,37
642,06252361764,0045,797
796,47674,8499292,9648,224
872,68580,8645270,7650,651
956,89511,2813226,2453,078
1052,0105201002704,0055,505
1138,611424,61211489,9657,932
1233,0123961441089,0060,359
Итого564,1784013,865033155,51564,13

;

;

;

;

Уравнение регрессии:

= 31,235 + 2,427 – х

Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.

Найдем прогноз на полгода вперед:

= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.

Найдем прогноз на год вперед:

= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:

;

Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.

= 4×3 + 2xy2 ; 4×3 + 2xy2 = 0; 2x (2×2 + y2 );

2x = 0 или (2×2 + y2 ) = 0; точка (0, 0)

= 4y3 + 2×2 y; 4y3 + 2×2 y = 0; 2y (x2 + 2y2 );

2y = 0 или (x2 + 2y2 ) = 0; точка (0, 0)

Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)

= 12×2 + 2y2 ; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А

= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B

= 12y2 + 2×2 ; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = C

Δ = AC – B2 = 0

Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.

Точка (0; 0) возможный экстремум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

Где x и y – количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.

Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:

= ; = ; = ; =

Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140

Составим систему.

; ; ;

Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед. в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.

и ,

Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:

D (Q) = S (Q); = ; ; – T2 – 6t + 300 = 0

T1 = – 25,12 и t2 = 16,72, t1 – не удовлетворяет условию

; Q = 279,56 ед.

При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.

Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:

Sпотр = – 100,32 – 279,56 = – 28045,46 =

= 300 * 279,56 – 5/14 * 279,56 – 28045,46 = 55722,7

Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:

Sпроизв = 100,32 – 279,56 – = 28045,46 – =

= 28045,46 – 4 * 16,723 = 9348,6

Литература

1. Н. Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Н. Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. И. А. Зайцев. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1998.

4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н. Ш. Кремера. – ВЗФЭИ, 2006.


Решение экономических задач