Решение задач по эконометрике

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Список использованной литературы

Задание 1

Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья ( y – стоимость квартиры (тыс. у. е.), x – размер общей площади (м 2 )). Данные приведены в табл. 1.4.

Таблица 1

Месяц123456789101112
У22,525,820,815,225,819,418,221,016,423,518,817,5
Х29,036,228,932,449,738,130,032,627,539,027,531,2

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий

и .

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F – статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Решение

Составим таблицу расчетов 2.

Все расчеты в таблице велись по формулам

.

Таблица 2

ХХ 2УХуУ 2А(%)
29,0841,022,5652,5506,32,1-4,54,3820,3318,933,5712,7515,871
36,21310,425,8934,0665,65,42,729,077,2521,284,5220,4017,506
28,9835,220,8601,1432,60,4-4,60,1521,2418,901,903,629,152
32,41049,815,2492,5231,0-5,2-1,127,131,2320,04-4,8423,4331,847
49,72470,125,81282,3665,65,416,229,07262,1725,700,100,010,396
38,11451,619,4739,1376,4-1,04,61,0221,0821,90-2,506,2712,911
30,0900,018,2546,0331,2-2,2-3,54,8812,3119,26-1,061,125,802
32,61062,821,0684,6441,00,6-0,90,350,8320,110,890,804,256
27,5756,316,4451,0269,0-4,0-6,016,0736,1018,44-2,044,1612,430
39,01521,023,5916,5552,33,15,59,5630,1622,201,301,695,536
27,5756,318,8517,0353,4-1,6-6,02,5936,1018,440,360,131,923
31,2973,417,5546,0306,3-2,9-2,38,465,3319,65-2,154,6212,277
402,113927,8244,98362,65130,70,00,0132,7454,179,0129,9
Среднее значение33,51160,720,4696,9427,66,610,8
6,433,47
41,2812,06

Тогда

,

И линейное уравнение регрессии примет вид: .

Рассчитаем коэффициент корреляции:

.

Связь между признаком и фактором заметная.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

R 2 = 0,606 2 = 0,367

Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:

,

Допустимые значения которой 8 – 10 %.

Вычислим значение -критерия Фишера.

,

Где

– число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );

– объем совокупности.

.

По таблице распределения Фишера находим

.

Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.

Таблица 3

YYUY 2А(%)
5,38529,022,5121,17506,251,640-0,4522,690,2013,748,7676,738,92
6,01736,225,8155,23665,644,9400,18024,400,0314,0111,79139,045,70
5,37628,920,8111,82432,64-0,060-0,4610,0040,2113,747,0649,933,95
5,69232,415,286,52231,04-5,660-0,14532,040,0213,871,331,88,72
7,05049,725,8181,89665,644,9401,21324,401,4714,4211,38129,544,11
6,17338,119,4119,75376,36-1,4600,3362,130,1114,075,3328,427,45
5,47730,018,299,69331,24-2,660-0,3607,080,1313,784,4219,524,27
5,71032,621,0119,904410,140-0,1270,020,0213,887,1250,733,89
5,24427,516,486,00268,96-4,460-0,59319,890,3513,682,727,416,58
6,24539,023,5146,76552,252,6400,4086,970,1714,109,4088,339,98
58,368343,4208,6001228,714471,02313,567
Среднее значение5,83734,3420,860122,871447,1031,357
0,5493,646
0,30213,292

Рассчитаем параметры уравнения:

,

,

.

Коэффициент корреляции

.

Коэффициент детерминации

,

Следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .

,

,

Следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.

11

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии

.

Используем для этого t – распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.

.

.

Определим ошибки .

,

,

,

,

,

.

Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем

.

Тогда

.

Средняя ошибка прогноза

,

Где

,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

,

.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т. к. .

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии

.

Используем для этого t – распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.

.

.

Определим ошибки .

,

,

, ,

, .

Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.

1. , следовательно, качество модели не очень хорошее.

2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем . Тогда .

3. Средняя ошибка прогноза

,

Где

,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

,

.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т. к. .

Задание 2

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.

Известны – чистый доход ( у ), оборот капитала ( х 1 ), использованный капитал ( х 2 ) в млрд у. е.

Таблица 4

УХ 1Х 2
1,55,95,9
5,553,127,1
2,418,811,2
3,035,316,4
4,271,932,5
2,793,625,4
1,610,06,4
2,431,512,5
3,336,714,3
1,813,86,5
2,464,822,7
1,630,415,8

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

Таблица 5

YX 1X 2Yx 1Yx 2X 1x 2X 12X 22Y 2
1,55,95,98,858,8534,8134,8134,812,25
5,553,127,1292,05149,051439,012819,61734,4130,25
2,418,811,245,1226,88210,56353,44125,445,76
335,316,4105,9049,20578,921246,09268,969
4,271,932,5301,98136,502336,755169,611056,2517,64
2,793,625,4252,7268,582377,448760,96645,167,29
1,6106,416,0010,2464,00100,0040,962,56
2,431,512,575,6030,00393,75992,25156,255,76
3,336,714,3121,1147,19524,811346,89204,4910,89
1,813,86,524,8411,7089,70190,4442,253,24
2,464,822,7155,5254,481470,964199,04515,295,76
1,630,415,848,6425,28480,32924,16249,642,56
32,4465,8196,71448,33617,9510001,0326137,304073,91102,96
Средн.2,738,816,4120,6951,50833,4265,80
1,227,18,8
1,4732,477,2

Рассматриваем уравнение вида:

.

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:

, где

– стандартизированные переменные,

– стандартизированные коэффициенты:

Коэффициенты определяются из системы уравнений:

, ;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

.

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

,

,

.

Следовательно, при увеличении оборота капитала ( x 1 ) на 1% чистый доход ( y ) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня.

Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:

,

.

Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

.

Коэффициент множественной детерминации .

,

Где

– объем выборки,

– число факторов модели.

В нашем случае

.

Так как , то и потому уравнение незначимо.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

.

Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

.

Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

Результаты расчетов позволяют сделать вывод :

1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

2) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.

Задание 3

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Модель денежного и товарного рынков:

R t = a 1 + b 12Y t + b 14M t + e 1 ,

Y t = a 2 + b 21R t + b 23I t + b 25 G t + e 2 ,

I t = a 3 + b 31R t + e 3 ,

Где

R – процентные ставки;

Y – реальный ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции;

G – реальные государственные расходы.

Решение

1. Модель имеет три эндогенные ( R t Y t I t ) и две экзогенные переменные ( M t G t ).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D =1, H =2, D +1= H – уравнение идентифицировано.

2-е уравнение: D =1, H =1, D +1=2 – уравнение сверхидентифицировано.

3-е уравнение: D =1, H =2, D +1= H – уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В первом уравнении нет переменных I t, G t

Строим матрицу:

ItGt
2 ур.B23B23
3 ур.00

Det M = det , rank M =2.

Во втором уравнении нет переменных M t

Det M ¹ 0

В третьем уравнении нет переменных Y t, M t, G t

Строим матрицу:

Det M/

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2. Найдем структурные коэффициенты модели.

Для этого:

Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:

R t – b 12 Y t =a 1 +b 12 M t

Y t – b 21 R t – b 23 I t =a 2 +b 25 G t

I t – b 31 R t =a 3

Откуда

, и , , , .

Решаем систему относительно : . Найдем

, где

Алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т. е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.

,

,

,

.

Поэтому

В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .

Задание 4

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6 .

Таблица 6

ДеньГлазное отделение
130
222
319
428
524
618
735
829
940
1034
1131
1229
1335
1423
1527

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение

Определим коэффициент корреляции между рядами и . Ррасчеты приведены в таблице 7:

Год
130
22230-6,141,6437,732,7010,09
3192230-9,14-6,3683,5940,41-9,361,2387,561,5158,1211,52
4281922-0,14-9,360,0287,56-0,36-6,770,1345,821,342,42
5242819-4,14-0,3617,160,13-4,36-9,7718,9895,441,4842,57
6182428-10,14-4,36102,8818,98-10,36-0,77107,270,5944,197,97
73518246,86-10,3647,02107,276,64-4,7744,1322,7571,0231,68
82935180,866,640,7344,130,64-10,770,41115,985,696,92
940293511,860,64140,590,4111,646,23135,5638,827,6272,54
103440295,8611,6434,31135,565,640,2331,840,0568,191,30
113134402,865,648,1631,842,6411,236,98126,1316,1229,68
122931340,862,640,736,980,645,230,4127,362,273,36
133529316,860,6447,020,416,642,2344,134,984,4114,82
14233529-5,146,6426,4544,13-5,360,2328,700,0534,161,24
15272335-1,14-5,361,3128,70-1,366,231,8438,826,128,46
1200,000,00547,71549,213,360,00507,94518,31330,84234,47
Средн.8

28,14

28,36

28,3628,77

Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:

,

Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .

Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.

Таблица 8

130190030-7,0049
222448444-6,0036
319936157-5,0025
42816784112-4,0016
52425576120-3,009
61836324108-2,004
735491225245-1,001
829648412320,000
9408116003601,001
103410011563402,004
11311219613413,009
12291448413484,0016
133516912254555,0025
14231965293226,0036
15272257294057,0049
12042412401253635190280
Средн.8,0028,2782,67835,73234,6

.

Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции

.

Расчетное значение критерия Фишера равно ,

,

Уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.

Список использованной литературы

1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

3. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.

4. Практикум по эконометрике. Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.

6. Эконометрика. Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.


Решение задач по эконометрике