Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л. А. – 2. Дифференцирование. Зад.20

Задача 20 . Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

20.1.

Y’= e-x^2/2 – x2 e-x^2/2 = e-x^2/2 (1-x2 )

Xe-x^2/2 (1-x2 )=xe-x^2/2 (1-x2 )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.2.

Y’= (xcosx-sinx)/x2

(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx

Cosx=cosx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.3.

Y’= -10e-2x +ex /3

-10e-2x +ex /3+10e-2x +2ex /3=ex

Ex =ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.4.

Y’= – cx/√(1-x2 )

-cx(1-x2 )/√(1-x2 )+2x+cx√(1-x2 )=2x

2x=2x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.5.

Y’= √(1-x2 )-x2 /√(1-x2 )= (1-2×2 )/√(1-x2 )

X √(1- x 2 )(1-2 x 2 ) = x-2×3

√(1-x2 )

X-2×3 = x-2×3

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.6.

Y’= c*tgx/cosx

C*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.7.

Y’= 3/(3x+c)2

3/(3x+c)2 =3/(3x+c)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.8.

Y’= ex /(c+ex )

Ex /(c+ex )= ex /eln(c+e^x)

Ex /(c+ex )=ex /(c+ex )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.9.

Dy= (2x-c)dx/(2√(x2 – cx))

(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2 – cx))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.10.

Dy= (cx-xlnx+1)dx

(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.11.

Y’= etgx/2 /(2cos2 x/2)= etgx/2 /(cosx+1)

Sinx*etgx/2 /(cosx+1)= etgx/2 lnetgx/2

Tgx/2= tgx/2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.12.

Y’= (1-x+1+x)/(1-x)2 =2/(1-x)2

2/(1-x)2 = 1-2 x + x 2 +1+2 x + x 2

(1-x)2 (1+x)

2/(1-x)2 =2/(1-x)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.13.

Y’= 1-b2

(1-bx)2

B+x – x( 1-b2 ) = b + x2 ( 1-b2 )

1+bx (1-bx)2 (1-bx)2

B + x 2 (1-b2 )=b + x 2 (1-b2 )

(1-bx)2 (1-bx)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.14.

Y’= 1-2x _

3 √(2+3x-3×2 )2

(1-2x) 3 √(2+3x-3×2 ) = 1-2x _

3 √(2+3x-3×2 )2 3 √(2+3x-3×2 )

1-2x _ = 1-2x _

3 √(2+3x-3×2 ) 3 √(2+3x-3×2 )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.15.

Y’= 4ex = ex _

4(1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) (1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1)

Ex (1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) = ex

(1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1)

Ex =ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.16.

Dy= 3dx _

3xcos2 ln3x

(1+tg2 ln3x)dx = 3xdx _

3xcos2 ln3x

Dx/cos2 ln3x= dx/cos2 ln3x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.17.

Y’= 2/(x3 √(2/x2 -1))

1+2/x2 -1- 2x√(2/x2 -1)/(x3 √(2/x2 -1))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.18.

Y’= x-1 _

3x√(x-lnx-1)2

Lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2 = 0

3x√(x-lnx-1)2

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.19.

Y’= 7/(ax+1)2

A+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2 = a(1+7×2 /(ax+1)2 )

A(1+7×2 /(ax+1)2 )= a(1+7×2 /(ax+1)2 )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.20.

Y’= – a2 _

2×2 √(a/x-1)cos2 √(a/x-1)

A2 +a2 tg2 √(a/x-1)- 2a2 x√(ax-x2 ) = 0

2×2 √(a/x-1)cos2 √(a/x-1)

A2 /cos2 √(a/x-1) – a2 /cos2 √(a/x-1)=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.21.

Y’= 1 _

8 4 √(√x+√(x+1))

8x _ 4 √(√x+√(x+1)) = -1 _

8 4 √(√x+√(x+1)) 4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1)

-1 _ = -1 _

4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1) 4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.22.

Y’= ex^2 (1+2×2 +2x)

Ex^2 (1+2×2 +2x) – 2xex^2 (1+x)=2xex^2

2xex^2 =2xex^2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.23.

Y’= 2×2 -4×5 – x6 -2×3 -1

X2 (x3 +1)2

X(x3 +1)( 2×2 -4×5 – x6 -2×3 -1) + (2×3 -1)(2×2 +1) = x3 -2

X2 (x3 +1)2 x(x3 +1) x

X3 -2 = x3 -2

X x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.24.

Y’= (1+2x)ex+x^2 +2ex

(1+2x)ex+x^2 +2ex – ex+x^2 +2ex = 2xex+x^2

2xex+x^2 =2xex+x^2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.25.

Y’= – cosx-xsinx+3

-xcosx+x2 sinx+3x = – xcosx+3x+ x2 sinx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.26.

Y’= – cosx-1 _

2√(sinx+x)3

-2sinx(cosx+1) + cosx = xcosx-sinx

2√(sinx+x)3 √(sinx+x) √(sinx+x)3

Xcosx-sinx = xcosx-sinx

√(sinx+x)3 √(sinx+x)3

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.27.

Y’= 2 x 3 -4 x 2 +2 x -1

(x-1)2

X ( x -1)(2 x 3 -4 x 2 +2 x -1) + x/(x-1)+x2 = x2 (2x-1)

(x-1)2

X2 (2x-1)= x2 (2x-1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.28.

Y’= (cosx+xsinx)/cos2 x

(cosx+xsinx)/cos2 x-xtgx/cosx = secx

1/cosx=secx

Secx= secx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.29.

Y’= n(x+1)n-1 (ex -1)+(x+1)n ex

N(x+1)n-1 (ex -1)+(x+1)n ex – n(x+1)n (ex -1)/(x+1) = (x+1)n ex

(x+1)n ex =(x+1)n ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.30.

Y’= 2xcosx-2sinx-x2 sinx

X2

Xsinx(2xcosx-2sinx-x2 sinx) + (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx) = sinxcosx-x

X2 x

Sinxcosx-x= sinxcosx-x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.31.

Y’= 2x-4×3 = 1-2×2

2√(x4 – x2 ) √(x2 -1)

-x√(x4 – x2 )( 1-2×2 ) – x4 +x2 = x4

√(x2 -1)

X4 = x4

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).


Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л. А. – 2. Дифференцирование. Зад.20