Середні Значення

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об’єктів, у якихвиміряно деяку характеристику, що має значення x1 ,x2 , …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1 , x2 , …, xn на число цих даних n,

Або (– знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березнятемпература повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо:

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м’яча в корзину накожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Номер тренувань

1

2

3

4

5

Перший учень

4

3

5

3

6

Кількість влучень

Другий учень

5

4

3

6

5

Розв’язання.

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

Для другого учня:

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього. Різниця х – Може бути від’є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне Пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

ЗначенняСереднє арифметичнеВідхилення
02-2
02-2
12-1
12-1
321
321
321
523
0

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім По­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с . Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою

,де

Fi – частота повторення результату xi.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.

Таблиця 3

Вихідні

Дані

Xi

Час­тота fi

Xi fi

Остаточне обчис­лення

2610224

Де I=1,2,3,…,11

2610313
36114312
46125210
48126424
4915818
59159327
591510220
11111
12224
15345

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки

Оцінки (бали) 5 4 3 2

Кількість

Учнів 6 7 4 17

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки “2” (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником – середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала):

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

Зна­чен­ня xi

Сере­днє ариф­ме­ти­чне

Відхи­лення

Xi –

Квадрат відхи­лення

(xi – )2

Квадратичне від­хилення σ

5– 749
8– 416
10– 24
1200
17525
20864
=72

=

=12

У статистиці користуються також величиною σ2 (квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2 , х3 , …,хп визначається виразом

, тобто середнє ге­ометричне х1 х2 х3 …п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, …).

У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а : mc = тс : b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв’язу­вати різноманітні задачі, пов’язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10-11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.


Середні Значення