Сферический треугольник и его применение

Федеральное агентство по образованию

ГОУ “Санкт-Петербургский государственный политехнический университет”

Чебоксарский институт экономики и менеджмента (филиал)

Кафедра высшей математики и информационных технологий

Курс “Математика”

Тема “Сферический треугольник и его применение”

Выполнил (а) студент (ка)

1 курса очного отделения

Специальности 080507

“Менеджмент организации”

Владимирова Регина Олеговна

Научный руководитель:

Максимова. М. В

Чебоксары

2011

Содержание

1. Понятие сферического треугольника……………………………….4

2. Свойства сферического треугольника………………………………4

3. Страница из “Собрания правил науки астрономии”, XI в.,

Автор неизвестен………………………………………………………5

4. Применение сферического треугольника в астрономии…………..5

5. Применение сферического треугольника в географии……………6

6. Применение сферического треугольника в архитектуре………….7

7. Применение сферического треугольника в дизайне……………… 8

8. Применение сферического треугольника в гравюре………………9

9. Разбор задач………………………………………………………….10

10. Список использованной литературы……………………………… 13

Объект исследования: сферический треугольник.

Цель: изучение теоретических вопросов в области сферического треугольника и его применение в решении задач.

Понятие сферического треугольника

Сферический треугольник – геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трех больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.

Свойства сферического треугольника

1. Помимо трех признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен еще один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

2. Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

3. Сумма всех сторон a + b + c всегда меньше 2πR.

4. Величина 2πR − (a + b + c) называется сферическим дефектом

5. Сумма углов сферического треугольника s = α + β + γ всегда меньше 3π и больше π

6. Величина называется сферическим избытком или сферическим эксцессом

7. Площадь сферического треугольника определяется по формуле. В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два, и даже три угла по 90° каждый.

Страница из “Собрания правил науки астрономии”, XI в., автор неизвестен

Применение сферического треугольника в Астрономии

В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Чаще всего используются три такие системы: у одной экватором служит небесный экватор, а полюсами – полюсы мира, вокруг которых происходит видимое суточное вращение светил; у другой экватором является эклиптика – круг, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца на фоне звезд; у третьей роль экватора выполняет горизонт, а роль полюсов – зенит и надир. В частности, благодаря сферической теореме косинусов можно вычислять высоту Солнца над горизонтом в разные моменты времени и в разные дни в году.

Теорема косинусов для сторон:

Теорема косинусов для углов:

Применение сферического треугольника в географии

Сферическая теорема косинусов позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними. Кроме того, математикам стран ислама сферическая теорема косинусов помогала в решении другой практической задачи: в городе с данными координатами находить направление на священный город Мекку (всякий правоверный мусульманин должен пять раз день молится в направлении Мекки). При решении этой задачи, считая город B Меккой, требовалось найти угол A того же треугольника.

Рассмотрим пример:

Рассмотрим сферический треугольник ABN, где N – северный полюс (предположим для простоты, что обе точки находятся в северном полушарии).

Рис. Нахождение расстояния между двумя точками на сфере

Тогда, если широта и долгота точки A равны φA и λA, а точки B – φB и λB, то угловые величины сторон треугольника таковы:

AN = π/2 – φA, BN = π/2 – φB,

Угол при вершине N равен (λA – λB),

И, по сферической теореме косинусов,

Cos AB = cos (π/2 – φA) cos (π/2 – φB) + sin (π/2 – φA) sin (π/2 – φB) cos (λA – λB) = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λA – λB).

Применение сферического треугольника в архитектуре

Паруса в архитектуре – сферический треугольник, обеспечивающий переход от квадратного в плане подкупольного пространства к окружности купола. Па рус, пандати в (от фр. pendentif) – часть свода, элемент купольной конструкции, посредством которого осуществляется переход от прямоугольного основания к купольному перекрытию или его барабану. Парус имеет форму сферического треугольника, вершиной опущенной вниз, и заполняет пространство между подпружными арками, соединяющими соседние столпы подкупольного квадрата. Основания сферических треугольников парусов в сумме образуют окружность и распределяют нагрузку купола по периметру арок.

Рис. Купол на парусах

Рис. Роспись паруса

Применение сферического треугольника в дизайне

“Дизайнер может несколько расслабиться и развлечься; в результате может возникнуть шутка, забава. Удивительно, как часто это бывает очень значительная забава” Джордж Нельсон

Джордж Нельсон – американский дизайнер, архитектор, критик и теоретик дизайна. (1908, Хартфорд, Коннектикут – 1986, Нью-Йорк)

Наиболее известные дизайн проекты Джорджа Нельсона представляют собой виртуозную стилизацию геометрических форм в духе оп-арта или геометрического абстракционизма.

Форму своего знаменитого черного стула дизайнер строит на основе сферического треугольника, широко использовавшегося в архитектурных конструкциях купольных сооружений.

Джордж Нельсон Черный стул

Применение сферического треугольника в гравюре

Ма уриц Корне лис Э шер (нидерл. Maurits Cornelis 17 июня 1898, Леуварден, Нидерланды – 27 марта 1972, Ларен, Нидерланды) – нидерландский художник-график. Применил сферический треугольник в своей гравюре в 1935 году.

Торцовая гравюра 24 на 24 см.

Четыре полые концентрические сферы освещены центральным источником света. Каждая сфера состоит из сетки, образованной девятью большими пересекающимися кольцами; они членят сферическую поверхность на 48 подобных сферических треугольников.

Гравюра Эшера Мауриц Корнелис Эшер

Разбор задач

Задача 1:

Известны географические координаты – широта идолгота пунктов А и В земной поверхности lа, lb, jа, jb требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности. (радиус Земли считается известным: R=6371км).

Решение:

Широтой пункта М земной поверхности называется величина jм угла, образованного радиусом ОМ, где О центр Земли, с плоскостью экватора: -90°£jм £90°,причем к северу от экватора широта считаетсяположительной, а к югу – отрицательной. Долготаjм пункта М есть величина двугранного угла между плоскостями СОМ и СОН, где С – северный полюс, а Н – точка, отвечающая гринвичской обсерватории:-180°£lм £180°(к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной).

Кратчайшее расстояние между пунктами А и В земной поверхности – это длина меньшей из дуг большей окружности, она называется ортодромией, соединяющей А с В. Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника ABC. Сферическое расстояние от пункта А до В находим по формуле: ABS = R£АОВ

Длятого, чтобы найти ÐАОВнеобходимознать ÐAOC, ÐСОА, Ð C. ПустьÐСОВ = a, тогда:

А =90° – ÐBOK, т. к ÐCOK=90°, т. е.

A=90°-jв. Пусть ÐCOA= b, тогда,

B = 90° – ÐAON, т. к ÐCON – 90°,т. е. b=90° – jа

ÐC выразим через координаты точке А и В. По определению ÐC < 180° , поэтому

Либо ÐC=çlа – lвç,если lа – lв£180°,либоÐС=360°- çl а – l в ç, если çl а – l в ç>180°

Затем находим ÐАОВ Пусть ÐAOB = g, тогда:

Cosg = cosa cosb + sin a sinbcosÐC – по теореме косинусов

Cos g = cos j а cosgb соs (lа – lb) + sinja sinjb

Зная косинусg, находим ÐАВС;

Авs =ry

Задача 2:

Мореплаватель Кристофор Веспуччи проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А иС (по поверхности земного шара).

Решение:

Обозначим через a, b и с длины дег ВС, АС и АВ соответственно, y – внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда

,

, где R – радиус земного шара, выраженный в морских милях.

По теореме косинусов для сферического треугольника

По таблицам или с помощью калькулятора находим, что

Радиан.

Следовательно, длина дуги АС = b равна b = R*0.90662 = 3437.4*0.906623116.7 миль.

Ответ: 3117 морских миль 5772 км.

Список использованной литературы

1. “Популярная художественная энциклопедия.” Под ред. Полевого В. М.; М.: Издательство “Советская энциклопедия”, 1986.

2. Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.- М., 1948

3. Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.


Сферический треугольник и его применение