Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

” Дискретная Математика “

Тема:

“Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

Образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2 =y2 =(xy)3 > “

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А. В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление…………………………………………………………………2

1. Теоретическая часть……………………………………………………3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями…………………………………..5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4 . Составление таблицы подгрупп, порожденных

Двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы………………………………………….15

.

1. Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение 1. Пусть G – некоторое множество. Бинарной операцией на G

Называется произвольное отображение G ‘ G ® G. Если (g1,g2)ÎG 1 ‘ G 2 , то

Результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g 1 – g 2 , где (-) – знак

Бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (-) называется группой, если

1) ” g1 , g2,g3 Î G (g1- g2) – g3 =g1- ( g2- g3)

2) $ e ÎG: e – g = g – е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) ” g ÎG $ g-1 ÎG : g – g -1 = g -1 – g = e, элемент g -1 для элемента g будем

Называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) ” g1 , g2 Î G g1-g2 = g2-g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

Делать.

Результат бинарной операции (-) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

Элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG } .

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

Элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 – е2 = e2 – e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

Только один.

Доказательство. Если два элемента g -1

1 и g -1

2 обладают свойством 3) для элемента

G, то

G 1

-1 = g 1

-1 – e= g 1

-1 – g – g 2

-1 = e – g 2

-1 = g 2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

Называется “таблицей Кэли”.

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

Вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

Столбца h ÎG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

Каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

Столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

Выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) ” h1 , h2 Î H h1 – h2 ÎH;

3) ” h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

Умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

Каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

Перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

Перестановка.

Определение 2. Если H – подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

Называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

Множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

Подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

Подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а 1 ,… ,а n Î G. Через < а 1 ,… ,а n > будем обозначать

Наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а 1 ,… ,а n. Если < а 1 ,… ,а n >= G,

То элементы {а 1 ,… ,а n } будем называть системой образующих группы G. Систему

{а 1 ,… ,а n } будем называть минимальной системой образующих группы G, если

После удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

Системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

Найдется элемент g Î G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G – конечная группа, Н – подгруппа. Рассмотрим

Разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

G Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

Совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g 3 = g 1 h 1 = g 2 h 2 для некоторых

H 1 , h 2 ÎH. Но тогда g1 = g 2 h 2 h 1

-1 Î g2H, а g 2 =g 1 h 1 h 2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g 1 H

= g 2 Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

Элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

G ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1= gh 2 , то, умножая равенство слева на g -1 , получим h 1 = h 2 .

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

Некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к -|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G – конечная группа, то порядки ее элементов являются

Делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g 2 ,… , gk-1, е} образует подгруппу в

G. Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

Соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1 , у -1 . Конечную последовательность

Символов будем называть словом. Если z – символ, договоримся записывать z n

Вместо {

N

Z…z. Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

Е. Кроме того, если n, m – целые числа разных знаков, то слово z n z m договоримся

Сокращать и записывать как z n+m. Например, х 3 х -4 = х -1 , х 2 х -2 = е.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (-) , которую будем на-

Зывать умножением. Если u=z 1 …z n и v = t 1 …t m – два слова, то их произведением

Будем называть слово uv = z 1 …z n t 1 …t m, в котором произведены все возможные

Сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е-u = u-е = u. Несложно

Видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

Единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

Z 1 …z n, то u -1 = 1 1

N 1 z – …z – .

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

Выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

Группой с двумя образующими х, у.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

Т. д.

Пусть F – свободная группа с образующими x 1 …x n. Равенство двух слов u=v

Будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u-v -1 =

Е. Пусть задана система из k соотношений

(1)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w 1 ,…,

W k Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

Подгрупп, содержащих w 1 ,…, w k, обозначим N. Можно показать, что пересечение

Нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

Образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

W 1 ,…, w k. Пусть G = F/N – фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

Группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u – слово, u Î F, то через

U будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

Справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

Образующими x 1 …x n и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x,…,x | u = v,…,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

“простое” слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

Помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

Данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

Элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

Символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если, х n = 1 (n > 1), то х

-1 = х n – 1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

Ходных символов, т. е. будем считать, что x 1 < x 2 < … < x n. В слове

1 k

1 k u = t a…t a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

Т. е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = t a…t a и 1 m

1 m v = s b… s b, где i i t, s Î{ x 1 … x n }.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m a + … +a < b + … + b. В случае

1 k 1 m a + … +a = b + … + b будем считать, что u < v, если 1 1 t < s или 1 1 t = s, но

1 1 a > b. Если 1 1 t = s и 1 1 a = b, то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

Следующие символы и т. д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

Слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x 2 ,xy, yx, y 2 ,x 3 ,x 2 y, xyx, xy 2 , yx 2 , yxy, y 2 x, y 3 ,…

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

Лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

Смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

Задачей, т. к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

Слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

Со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G) . Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

Которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

Номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

Бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x 2 = y 2 =( xy )3 > , n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

Является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

Системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

Элементов – {x, y}. Определим единицу данной группы.

Xy = yxyx y 2 =( yxyxxyxy ) xy, yxyxxyxy = e, x 8 = y 8 = e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

Элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

Через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

Y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т. е. элементы x и y. Путем

Дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

Длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

Имеющимся с помощью определяющих соотношений: x 8 = e, y 8 = e, x 2 = y 2 =( xy )3 .

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

Процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т. е.

Дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

Итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x2

5. xy= x2 yxyx

6. yx= x3 yxy

7. x3

8. x2 y =y x2 = y3

9. xyx

10. x y2 = y2 x

11. yxy= x5 yx= x3 yx y2

12. x4 =x y2 x= x2 y2

13. x3 y= x y3 =xy x2

14.x2 yx= yx y2 = y3 x=y x3

15. xyxy=yxyx

16. x5 = x3 y2

17. x4 y = x2 y x2

18. x3 y x=xyx y2

19. x2 y xy=yxy x2

20. x6 = x4 y2

21. x5 y = x3 y x2 = x4 yxy

22. x4 yx= x2 yx y2

23. x7 = x5 y2

24. x6 y = x4 y x2

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e

2. x

3. y

4. x2

5. xy

6. yx

7. x3

8. x2 y

9. xyx

10.x y2

11.yxy

12.x4

13.x3 y

14.x2 yx

15.xyxy

16.x5

17.x4 y

18.x3 y x

19.x2 y xy

20.x6

21.x5 y

22. x4 yx

23. x7

24. x6 y

2.2 Определение порядков элементов.

1. o(e)=1

2. o(x)=8

3. o(y)=8

4. o(x2 )=4 x2 x2 x2 x2 =e

5. o(xy)=12

6. o(yx)=12

7. o(x3 )=4

8. o(x2 y )=4

9. o(xyx )=8

10.o(yxy )=8

11.o(x 4 )=2

12.o(x 3 y )=8

13.o(x 2 yx )=4

14.o(xyxy)=6

15.o(yxyx)=4

16.o(x 5 )=8

17.o(x 4 y)=8

18.o(x 3 y x )=8

19.o(x 2 y xy )=8

20.o(x 6 )=4

21.o(x 5 y )=8

22.o(x 4 yx )=4

23.o(x 7 )=8

24.o(x 6 y )=4

В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:

ОбозначениеH1H2C1L1L2C2C3H3C4H4A1H5C5F1H6
ЭлементXYX2XyYxX3X2 yXyxYxyxYxyX 4X 3 yX 2 yxXyxyX 5
ОбозначениеH7H8H9C6H10C7H11C8
ЭлементX 4 yX 3 y xX 2 y xyX 6X 5 yX 4 yxX 7X 6 y

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x 8 = e, y 8 = e,

X 2 = y 2 =( xy )3 , а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

EA1C1C2C3C4C5C6C7C8H1H2H3H4H5H6H7H8H9H10H11F1L1L2
A1EC6H11C8H5F1C1L2C3H6H7H4H3C4H1H2H9H8L1C2C5H10C7
C1C6A1H6H7L1C7EF1H2C2C3H8H9H10H11C8H4H3C4H1L2H5C5
C2H11H6C6H10C3H4H1H9L1A1H5C7L2C8EC4F1C5H2C1H3H7H8
C3C8H7H10C6H4H11H2H1C1C5A1C2H10L1F1EH5C4H8L2C2H9H6
C4H5L1C3H4C5A1H10C6H3H2H1C2H11F1H8H9H6H7L2C8EC7C1
C5F1C7C8H3A1H5L2H10H4H7H9H11C2EH2H8H1H6C1C3C4C6L1
C6C1EH1H2H10L2A1C5H7H11C8H9H8L1C2C3H3H4H5H6C7C4F1
C7L2F1H2H8C6H10C5C4H9C8H3H1H6C1C3F1C2H11A1H7L1EH5
C8C3H2L2C1H3C2H7H6C6F1EH10L1H4C5A1C4H5H9C7H11H8H1
H1H6C2A1H5H2H8H11H4C4C1L1C5F1H7C6H10C7L2C8EH9C3H3
H2H7C3C5A1H8H6C8H11EL2C1C4H5H9C7C6L1H10H3F1H1H4C2
H3H4H8H10L2C2C3H9H7C7H5F1C6C1H11C4C5EA1H1L1C8H6H2
H4H3H9L2H10H11C2H8H2L1F1C5C1C6C8H5C4A1EH6C7C3H7H1
H5C4H10H4H11F1EL1C1C2H8H6C3C8C5H9H1H7H2C7H3A1L2C6
H6H1H11EC4C5H9C2H3H5C6H10F1C5H2C1L1L2C7C3A1H8C8H4
H7H2C8F1EH9H1C3C2A1C7C6H5C4H8L2C1H10L1H4C5H6H3H11
H8H9H4C4H5H2H1H3C8F1C7L2EA1H7L1H10C1C6C2C5H2H11C3
H9H8H3H5F1H1H2H4C3C5L1C7A1EH6H10L2C6C1H11C4H7C2C8
H10L1C4H9H1L2C1H5A1H6H4H11H7H2C7H3C2C8C3F1H8C6C5E
H11C2H1C1L1C8H3H6H8H10EC4L2C7C3A1H5C5F1H7C6H4H2H9
F1C5L2H3C2EC4C7L1H11H9H8C8C3A1H7H6H2H1C6H4H5C1H10
L1H10H5H8H6C7C6C4EH1H3C2H2H7L2H4H11C3C8C5H9C1F1A1
L2C7C5H7H9C1L1F1H5H8C3H4H6H1C6C8H3H11C2EH2H10A1C4

Основным методом проверки правильности составления является присутствие

Каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.

Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и

Того же элемента, т. е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.

В итоге получаем следующее множество: Z (G ) = {e, a1, c 1 }.

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами.

Подгруппы будем обозначать по тому же принципу, что и элементы, т. е. из 2-х

Элементов через Ai, из 3-х элементов – Bi и т. д.

Заметим, что таблица будет симметрична относительно главной диагонали.

Используя таблицу умножений, получим:

A1={e, a1}Z2

C1={e, a1,c1,c6}Z4

F1={e, a1,c4,c5,f1,h5} Z6

H1={e, a1,c1,c3,c6,c8,h2,h7} Z8

H2={e, a1,c1,c6,h3,h4,h8,h9} Z8

H3={e, a1,c1,c2,c6,h1,h6,h11}Z8

L1={e, a1,c1,c4,c5,c6,c7,f1,h5,h10,l1,l2} Z12

При нахождении подгрупп удобно будет пользоваться следующими

Соображениями:

1. В нашем случае, согласно теореме Лагранжа, возможны подгруппы порядков 2, 4, 6, 8, 12 и тривиальные – 1, 24. Поэтому, необязательно для получения подгруппы G искать все 24 элементов, нужно найти всего 13 элементов.

2. Если на каком-то шаге мы нашли, что в нашей подгруппе имеются элементы x и y, то подгруппа тривиальная. Ведь {x, y} – это минимальная система образующих нашей группы.

EA1C1,c6C4,c5C3,c8C2,h11C7,h10H1,h6H2,h7H3,h4H8,h9F1,h5L1,l2
A1A1C1F1H1H3L1H3H1H2H2F1L1
C1,c6C1L1H1H3L1H3H1H2H2L1L1
C4,c5F1GGL1GGGGF1L1
C3,c8H1GGGH1GGGG
C2,h11H3GH3GGGGG
C7,h10L1GGGGL1L1
H1,h6H3GGGGG
H2,h7H1GGGG
H3,h4H2H2GG
H8,h9H2GG
F1,h5L1L1
L1,l2L1

2. 5 Структура всех подгрупп.

1. А. В. Клюшин “Введение в дискретную математику” МИЭТ, 2004г.

2. А. В. Клюшин “Курс лекций по дискретной математике 2009-2010 уч. год.”

3. Кострикин А. И. “Введение в алгебру”, т.1, 3.


Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G