Структура рекурсивных m-степеней в полях

И. В. Ашаев, Омский государственный университет, кафедра математической логики

Обычная теория алгоритмов изучает вычислимость над конструктивными объектами, которые допускают эффективное кодирование натуральными числами. При этом многие процессы в математике, имеющие интуитивно алгоритмическую природу, но работающие в неконструктивных областях (например, в вещественных числах), не являются алгоритмами с формальной точки зрения. Новый подход, именуемый далее – обобщенная вычислимость, трактует алгоритм как конечный, дискретный, целенаправленный и детерминированный процесс, но работающий с элементами некоторой фиксированной алгебраической системы Сигнатуры . При этом элементарными шагами обобщенного алгоритма являются вычисления значений констант, функций и предикатов системы (см. [1,2,5,6]).

В качестве формализации обобщенной вычислимости будем использовать машину над списочной надстройкой из [1]. Эта машина представляет из себя конечный связный ориентированный граф с узлами четырех типов: входной узел, выходные, вычислительные и ветвления. Узел ветвления имеет две выходные дуги, с ним ассоциирована атомарная формула сигнатуры , от истинности которой зависит выбор одной из этих дуг в процессе вычислений. Узлы остальных типов (кроме выходных) имеют одну выходную дугу, с такими узлами ассоциированы термы сигнатуры . На входной узел машины подается набор элементов системы , который передается от узла к узлу по дугам графа; в узлах элементы изменяются под действием ассоциированных термов. При достижении выходного узла работа машины прекращается, полученные элементы системы выдаются как результат. Подробности см. в [1].

Имея машину, можно определить понятие функции, вычислимой в системе . Однако при этом полученный класс вычислимых функций будет достаточно мал (обоснование см. в [1,2]), поэтому предложенная формализация нуждается в улучшении. Один из возможных способов решения данной проблемы – усилить определение машины, разрешив машины со счетчиками, стеками и массивами (см. обзор [2]). Другой подход состоит в использовании списочной надстройки, введенной в [3]. Пусть A – множество, определим множество , состоящее из всевозможных списков (конечных последовательностей) элементов A, включая пустой список . Положим по индукции L0 = A, , . Множество HL(A) называется cписочным расширением множества A. Списочная надстройка системы Есть система , где . Константа Интерпретируется как пустой список, операции И Есть взятие первого элемента списка x и удаление из списка x первого элемента соответственно, .

Функция Называется вычислимой в системе , если f вычисляется некоторой машиной, примененной к списочной надстройке . Множество Назовем рекурсивным в , если его характеристическая функция Вычислима в . Множество Рекурсивно перечислимо (р. п.) в , если оно является областью определения вычислимой функции, X – выходное в системе , если оно есть множество значений некоторой вычислимой функции. В общем случае классы р. п. и выходных множеств различны (примеры см. в [1]).В дальнейшем, если ясно, о какой системе идет речь, слова “в системе “, будем опускать.

Справедлив аналог теоремы Поста: множество Рекурсивно X и его дополнение Рекурсивно перечислимы. Доказательство в [1].

Вычислимость в системе Совпадает с классической вычислимостью, определяемой с помощью машины Тьюринга.

Лемма 1. Всякое рекурсивно перечислимое множество Определяется дизъюнкцией вида

(1)

Где – рекурсивно перечислимое по Тьюрингу множество бескванторных попарно несовместных формул сигнатуры . Обратно, любая р. п. дизъюнкция бескванторных формул сигнатуры Определяет рекурсивно перечислимое множество .

Это вариант леммы Энгелера для вычислимости в списочной надстройке, ее доказательство можно найти в [1]. Из леммы 1 и теоремы Поста следует, что если – бескванторная формула, то множество Рекурсивно.

Определение 2. Множество X m сводится к Y (), если существует всюду определенная вычислимая функция , что

Множества X и Y m-эквивалентны (), если

M-степень множества X есть множество .

M-степень рекурсивна (р. п.), если она содержит хотя бы одно рекурсивное (р. п.) множество.

Так же, как и в классической теории алгоритмов, доказывается следующая лемма (см., например, [4]).

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения:

1) отношение Рефлексивно и транзитивно;

2) рекурсивная m-степень состоит только из рекурсивных множеств;

3) .

Известно [4], что в арифметике существует только три рекурсивные m-степени: , И степень всех остальных рекурсивных множеств. В данной работе описывается структура рекурсивных m-степеней в полях с трансцендентными элементами.

Итак, пусть – поле, рассматриваемое в сигнатуре – его простое подполе. Предполагаем, что Содержит трансцендентные над Элементы.

Лемма 4. Множество Рекурсивно Одно из множеств X или [] состоит из конечного набора алгебраических над Элементов и вместе с каждым элементом содержит все алгебраически сопряженные с ним (т. е. корни того же самого минимального многочлена).

Доказательство. Пусть , – минимальные многочлены для элементов X, причем вместе с каждым ai множество X содержит и все остальные корни fi(x). Тогда – рекурсивное отношение.

Пусть Рекурсивно над ‘. Тогда X и [] определяются рекурсивными дизъюнкциями бескванторных формул И Вида (1).

Случай 1. Одна из Есть конечная конъюнкция неравенств вида . Такой Будут удовлетворять все элементы поля , за исключением конечного числа алгебраических элементов, т. е. X есть множество требуемого вида.

Случай 2. Все Содержат хотя бы одно равенство вида t(x) = 0. Тогда множество X не содержит ни одного трансцендентного элемента, следовательно, существует , которой удовлетворяют трансцендентные элементы, но тогда Содержит только одни неравенства . Таким образом, мы приходим к случаю 1 с заменой X на его дополнение.

Лемма 5. Если функция Вычислима в системе , то для любых Принадлежит подсистеме системы , порожденной элементами .

Доказательство. См. в [1].

Теорема 6. Пусть , Рекурсивные множества. Тогда Каждое поле Содержит одно из полей .

Доказательство. Пусть . Тогда найдется вычислимая функция f(x), что . По лемме 5, f(ai), есть значение некоторого терма сигнатуры Т. е. рациональной функции с коэффициентами из поля . Значит, , т. е. .

Обратно, пусть , , т. е. ti(ai) = bi для некоторого набора рациональных функций . Тогда Посредством вычислимой функции

Непосредственно из определения следует, что Для любого конечного Y.

Следствие 7. Справедливы следующие утверждения:

1) если X конечное рекурсивное множество и , то любое конечное рекурсивное Y сводится к X;

2) для рекурсивного X имеем: И ;

3) среди рекурсивных m-степеней существует наибольшая, это степень множества X из п.2.

Доказательство. 1. Следует из теоремы.

2. По лемме 4 можно считать, что множество X конечно, а Конечно. Тогда существует a . Если И f сводящая функция, то , но по лемме 5 f(a) есть значение некоторой рациональной функции с коэффициентами из , т. е. . Обратно, если существует , то X и [] сводятся друг к другу посредством функции

3. Пусть X конечное рекурсивное множество и . Пусть Y произвольное рекурсивное. Если Y конечно, то По п.1. Если Y коконечно, то По лемме 3, но . Таким образом, упорядочение рекурсивных m-степеней в поле Имеет вид:

Если в поле Достаточно много алгебраических элементов, например, если Алгебраически замкнуто, то существует бесконечное число рекурсивных m-степеней.

Следствие 8. Пусть поле Алгебраически замкнутое характеристики 0, a рекурсивная m-степень, И не является наибольшей среди рекурсивных. Тогда:

1) существует счетное число рекурсивных степеней, несравнимых с a;

2) существует счетное число попарно несравнимых степеней , таких, что ;

3) существует счетное число попарно несравнимых степеней , таких, что ;

4) порядок на рекурсивных m-степенях плотный.

Доказательство. Пункты 1) – 3) следуют из теоремы 6 и свойств алгебраических расширений полей. Для доказательства 4) рассмотрим рекурсивные множества . Можно считать, что И , причем X и Y не содержат элементов из . Тогда , где , , но .

Список литературы

Ашаев И. В., Беляев В. Я., Мясников А. Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. 32. N 4 (1993). С. 349-386.

Кфури А. Дж., Столбоушкин А. П., Ужичин П. Некоторые открытые вопросы в теории схем программ и динамических логик // УМН. 1989. Т.44. Вып.1 (265). С. 35-55.

Гончаров С. С., Свириденко Д. И. -программирование// Логико-математические проблемы МОЗ (Вычислительные системы. Вып. 107). Новосибирск, 1985. С. 3-29.

Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М: Мир, 1972.

Blum L., Shub M., Smale S. On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines //Bull. Amer. Math. Soc. 1989. V.21. N1. P.1-46.

Friedman H. Algorithmic procedures, generalized Turing algorithms, and elementary recursion theory //Logic Colloquium’69 (R. O. Gandy and C. E. M. Yates, eds). NorthHolland, 1971. Р. 361-390.


Структура рекурсивных m-степеней в полях