Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Самарский государственный университет”

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

С начальным условием

Пусть в замкнутой области RФункции И Непрерывны). Тогда на некотором отрезке Существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Последовательные приближения определяются формулами:

K = 1,2….

Задание №9

Перейти от уравнения

К системе нормального вида и при начальных условиях

, ,

Построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

И перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения к решению задачи

,

Построим последовательные приближения

Задание №11

А) Задачу

,

Свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения

Б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

Непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

I = 0, 1, 2 …

Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок Достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:

, i = 1, 2, …,

Где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т. к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

Что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также совершенно очевидно. А так как последовательность сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список литературы

Л. С. Понтрягин. “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

А. Ф. Филиппов “Сборник задач по дифференциальным уравнениям”, М.: Интеграл-Пресс, 1998

О. П. Филатов “Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям”,Самара: Издательство “Самарский университет”, 1999

А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева “Дифференциальные уравнения”, М.: Наука. Физматлит, 1998


Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения