Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

Теорем ы Перрона-Фробеніуса та Маркова

В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

1. Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n – го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2×2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

1. Множити на число

Приклад:

2. Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад:

3. Множити матриці:

Приклад:

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i – го рядка матриці А та елементів j – го рядка матриці В, а саме:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли .

Беспосередньо можна первірити, що для

Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик Такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с – const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А – додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r >0 таке, що:

1. r – відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r =l1 .

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню l1 з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

Перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x 1 з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x 1 >0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

Але це випливає з того, що , бо cb >0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення : Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А1 , А2 – квадратні матриці розмірів k x k та (n – k ) x (n – k ) відповідно. Для 2х2 матриць це означає, що та

Визначення : Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження : Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення : Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

1)

2)

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k 0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді

1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)

2. Матриця – має однакові рядки.

3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де

Запишемо її характеристичне рівняння: ,

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

І тому

З урахуванням маємо , але якщо , то це значить, що p =q =1 або p =q =0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і тоді P n містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор , де x 1 =x 2 , тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню .

За визначенням

Звідки

Згадуючи, що отримуємо

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y 1 з першого рівняння: або звідки , але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо .

Оскілки , то існує S – 1. Перепишемо рівняння та у матричній формі

або .

Відкіля і взагалі

Знайдемо границю Pn :

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо .

Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці – однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність

Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та .

Маємо

,

, тому що p >0 і q >0

Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць

Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці . Тоді Можна знайти з умови:

Доведення.

Оскільки

Зівдки

Або

Звідки

Зокрема, для 2х2 матриці

Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.

Список літератури:

1. С. А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике. МГУ. 1980

2. С. А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”. М., 1984

3. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969

4. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967

5. Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988

6. С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964

7. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963

8. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978

9. Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978

10.В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. Т1. “Мир”.М. 1984


Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова