Теорія і практика обчислення визначників

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто

і .

Визначником(det A)квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1 , х2 , … , хn ) щодо стовпців цієї матриці, який:

А) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

Теорема обчислення визначник сума

J(х1 , …, aхi1 + bхi2 , … , хn ) = aj(х1 , … , хi1 , … , хn ) + bj(х1 , … , хi2 , … , хn );

Б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1 , … , хi, … , хj, … , хn ) = – j(х1 , … , хj, … , хi, … , хn );

В) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

А б

Рис. 1

, (1)

Де N(j1 j2 … jn ) – кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначниктретього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником -1, тобто

Властивості визначників:

1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7°..

8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (-1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.

10°. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11°.

12°. (Теорема Лапласа).

.

Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1 , i2 , …, ik і стовпців j1 , j2 , …, jk, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13°. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв’язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-муі 2-мурядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.

А) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

Б) 1-й рядок, помножений на (-2), додамо до 4-горядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

Г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

Д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює -3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

Det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

Det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;

А22 = 3. 4. 5 = 60; А33 = 2. 4. 5 = 40; А44 = 2. 3. 5 = 30 і А55 = 2. 3. 4 = 24.

Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4. 274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

А останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

Dn = 5Dn – 1 – 4Dn – 2 . (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

1) Dn – Dn – 1 = 4(Dn – 1 – Dn – 2 ) = 42 (Dn – 2 – Dn – 3 ) = … = 4n – 2 (D2 – D1 ) =

= 4n – 2 (21 – 5) = 4n.

2) Dn – 4Dn – 1 = Dn – 1 – 4Dn – 2 = Dn – 2 – 4Dn – 3 = … = D2 – 4D1 = 21 – 4. 5 = 1.

3)

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3Dn – 1 = 4n – 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, … у зростаючому порядку):

А) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

Г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Dа) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

2. З’ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

А) а43 а21 а35 а12 а54 ; б) а13 а24 а23 а41 а55 ;

В) а61 а23 а45 а36 а12 а54 ; г) а32 а43 а14 а51 а66 а25 ;

Д) а27 а36 а51 а74 а25 а43 а62 ; е) а33 а16 а72 а27 а55 а61 а44 ;

Ж) а12 а23 а34 …аn-1 n а25 аkk (1 £ k £ n); з) а12 а23 а34 …аn-1n аn1n.

Dа) -; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (-1)n. ▲

3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

А) а1i а32 а4k а25 а53 з ” + “; б) а62 аi5 а33 аk4 а46 а21 з ” – “;

В) а47 а63 а1i а55 а7k а24 а31 з ” + “.

Dа) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3 :

А) ; б) .

Dа) 2х4 , – х3 ; б) 10х4 , -5х3 . ▲

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком ” + “; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком ” – “.

Dа) а11 а24 а32 а43 , а13 а21 а32 а44 , а14 а23 а32 а41 ; б) а11 а23 а32 а44 , а12 а23 а34 а41 , а14 а23 а31 а42 . ▲

6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14 а23 за дужки?

D. ▲

7. Як зміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? DВизначник помножиться на (-1)(n(n-1))/2 . ▲

8. Не розкриваючи визначників, довести, що:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) ; д) .

Dа) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

Д) властивість 5. ▲

9. Знайти мінори елементів а13 , а24 , а43 визначника .

DМ13 = 24; М24 = – 126; М43 = 52. ▲

10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14 , а23 , а42 визначника

.

DА14 = 8; А23 = 0; А42 = – 12. ▲

11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

D8a + 15b + 12c – 19d. ▲

12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

D5a – 5b – 5c + 5d. ▲

13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

А) ; б) ; в) .

Dа) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

Dа) 0; б) 6; в) 0; г) -2; д) -27; е) -27. ▲

15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

Dа) -7; б) 0; в) -1; г) 4; д) 40; е) -3. ▲

16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

Dа) 100; б) -5; в) 1; г) 2; д) 4; е) -8. ▲

17. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ;

Е) .

Dа) (1 – e3 )2 ; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) -2(x3 + y3 ); д) 0; е) 0. ▲

18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

А) ; б) ; в) ; г) .

Dа) -7; б) 0; в) -1; г) -18. ▲

19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

А) ; б) ; в) ; г) .

Dа) 1; б) -5; в) 0; г) -3. ▲

20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

А) ; б) ;

В) ; г) .

Dа) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

21. Обчислити визначники 4-го порядку:

А) ; б) ; в) ; г) .

Dа) -8; б) -9; в) -6; г) -10. ▲

22. Обчислити визначники 5-го порядку:

А) ; б) . Dа) 52; б) 5. ▲

23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

А) ; б) ;

В) ; г) .

D а) n!; б) 2n + 1; в) хn (а0 + а1 + … + аn ); г) . ▲

24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

А) ; б) ;

В) ; г) .

D а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

В) (х2 – 1)(х2 – 4); г) x2 z2 , вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

25. Розв’язати рівняння:

А) ; б) ;

В) ; г) (х ÎR).

D а) хi = ai, i = 1, 2, … , n – 1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲

26. Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

D а) ; б) 2n + 1 – 1; в) . ▲

27. Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

А) ; б) .

∆ а) хn + (а1 + а2 + … + аn )хn – 1 ; б) вказівка: xi º (xi – ai + ai ),

. ▲

28. Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

А) ; б) .

∆ а) ; б) . ▲

29. Обчислити визначники n-го порядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3n ; в) 1; г) хn ; д) 1 – n; е) (-2)n -1 (5n – 2). ▲

30. Обчислити визначники n-гопорядку:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

∆ а) (-2)n -2 (1 – n); б) n + 1; в) (-1)n -1 (n – 1); г) 1; д) (1 – (-1)n )/2, вказівка:

Dn = 1- Dn -1 ; е) 0, якщо n = 2k +1; (-1)n/2 , якщо n = 2k, kÎZ ; вказівка: Dn = – Dn – 2 . ▲

31. Обчислити визначники n-го порядку:

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) .

∆ а) (b1 – а1 )(b2 – а2 ) … (bn – аn ); б) (n – 1)!; в) (-1)n – 1. n!; г) 0;

Д) (-1)(n(n -1))/2 nn-1 (n + 1)/2; е)


Теорія і практика обчислення визначників