Теория колец

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если

. (1)

Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ‘+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ‘+’ , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = – y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = – x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

1. (R,+) – абелева группа (аддитивная группа кольца R).

2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо – это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают Или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено

3. 0.

Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми, а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество Является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей x*0 = 0E, элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y0, для которого можно найти такое z0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел. Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента – 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p – простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).

2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца – хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

3. Пусть R – любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество– квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag(,,…,) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det(A) R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где – присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = – группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А – делитель нуля.

4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x – некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где называется многочленом над кольцом R. Если , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x, y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,…,1,0) =diag(1,1,…,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и . Изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма – это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова – некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) – подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) R*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и K*yK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ ) NZ. Факторкольцо Z /nZ – это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z /nZ имеет делители нуля.

2. Пусть IR [x] – множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = xR [x]. Поскольку p*I =(p*x)R [x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I)*(s+I) = (+I)*(+I) =*+I.

3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.

4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого Имеем: , откуда .

5. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть – гомоморфизм колец, I =Ker, – любой элемент. Тогда, (x*I) =(x)* (I) =(x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*xI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть – сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K – кольцо многочленов R [x], : KC – гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: (+1)*q(x), где q – любой многочлен. Можно записать: Ker =(+1). По теореме о гомоморфизме .

Кольцо многочленов над полем.

Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z.

I. Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления “углом” использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p, sK[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r, причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

1. ОНД( p, s) | p; ОНД( p, s) | s.

2. q | p, q | s q | ОНД( p, s).

По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости ( для многочленов).

Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p – s*w =p – s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q. Если при этом r 0, то deg(r )<deg(w), что противоречит выбору w. Значит, r =0. Аналогично проверяется, что w | q. Обозначим: W = ОНД(p, q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p – ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

Пусть k некоторое поле, p, q, s – многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z. Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

1. . Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные – простые.

2. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R. Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = – кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p – неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q.

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qP | q.

2. Если p | и p неприводим, то либо p | либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости ; , откуда: и значит, , то есть НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

Пусть p = некоторый многочлен над k и . Элемент поля k, равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a). Соответствие является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I – идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x – a +), а каждый идеал в k[x] – главный, то I =(x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x – a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если | p, то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a – простой (то есть не кратный).

Если | p, но не делит p, то число n называется кратностью корня a. Пусть – множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку при aB НОД(,) =1, многочлен p делится на и потому deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.


Теория колец