Теория теней Беруни

Теория теней Беруни

( гномоника )

Предисловие

Выдающийся деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль – Беруни, родился 3 – зулхижжи* ) 362 хиджры (973 мелодий, 4 сентября) в древнем центре Южного Хорезма в городе Кят (ныне город Беруни).

Из источников известно, что Беруни с детства отличался любознательностью и жаждой знаний. Он обучался у знаменитого ученого-энциклопедиста Абу Насра Мансура ибн Ирака, прозванного в то время Птоломеем. Ярким свидетельством признания учителем таланта и способностей своего ученика служит то, что Абу Наср ибн Ирак посвятил своему любимому ученику Беруни 12 научных трудов по астрономии, геометрии и математике.

В 995 году эмир Гурганжа Маъмун I ибн Мухаммад Сиявуш захватил последний оплот династии Афригидов – крепость Кят и объявил себя шахом объединенного Хорезма. Беспорядки, царившие после этого исторического события в Хорезме, вынуждают Беруни в возрасте двадцати двух лет покинуть Родину. В этот период он проживает в городах Ирана Гургане, Рае и здесь же знакомится с выдающимся ученым Абу Махмудом Хужанди, ведет переписку и научные дискуссии с Ибн – Сино (Авиценной).

После смерти Маъмуна I в 998 году и воцарения на престоле Али ибн Маъмуна политическая ситуация в Хорезме несколько стабилизировалась. Али ибн Маъмун был правителем, жаждущим знаний, покровительствовал науке и культуре. Он поручил наставнику Беруни Абу Насру ибн Ираку собрать ученых во дворце и создать научную атмосферу. По приглашению Ибн Ирака, приблизительно в конце 1003 – в начале 1004 года, Беруни возвращается в Гурганж, и с этого момента для него начинается период процветания в науке: он руководит Академией Маъмуна, готовит учеников, ведет научные исследования в различных областях науки.

Научная деятельность Беруни, основное место в которой отводилось математике, физике, минералогии, этнографии и истории, была многогранной и плодотворной. Его научные труды, состоящие из 11 книг: “Каноны Маъсуди”, “Геодезия”, “Минералогия” и труды по этнографии “Памятники минувших поколений”, “Индия”, в течение многих веков служили для ученых руководством в качестве основного пособия и не потеряли своей актуальности и в наши дни. В целом, Абу Райхан Беруни оставил 152 научных исследования. Из этого громадного наследия до нас дошло всего лишь 30.

Основой создания настоящего трактата послужило научное наследие Беруни. Отметим, что оно имеет отношение к одному из разделов математики, называемому геометрией, в нем приводятся отдельные математические исследования, суждения и дискуссии Беруни. Текст сопровождается толкованиями и комментариями.

Известно, что Беруни было свойственно сильно развитое логическое мышление, умение верно осветить суть вопроса, доказать и довести все это до читателя в доступной форме. Эти качества Беруни наглядно проиллюстрированы в его трактовке вопросов размера Земли и расстояния от Земли до Луны и Солнца, в дискуссиях о результатах предшественников в этой области, а также в трактовке недочетов по данной проблеме. Все это свидетельствует о том, что Беруни обладал яркими способностями в области естественных наук.

Время, в котором жил Беруни, было очень сложным в социально-политическом отношении: захват Кята, где родился и вырос Беруни, перенесение центра в Ургенч, бродяжничество, самоуправство, зазнайство и корыстолюбие, которые господствовали в обществе того времени, не могли не вызвать в душе мыслителя чувства протеста. И, действительно, они нашли свое отражение в следующих “крылатых” строках Беруни:

“Хотя этот человек недалек в знаниях, но держит себя высокомерно всезнающим и даже допускает оскорбление других. Нас разделяют лишь богатство и роскошь, превращающие гордость в вину бедности.

Богатство уйдет, знания останутся.

Аллах наказывает того, кто обижает безобидного ученого человека и радуется содеянному.

Несомненно, алчность и невежество ведут к произрастанию ростков зла” (аль – Беруни. Осор аль – боsия).

Наш великий предок Беруни скончался в 440 году хиджры, то есть 13 декабря 1048 года мелодий в возрасте 75 лет в городе Газна. В книге “Номойи донишворон” (“Письма ученых”), опубликованной в Тегеране (1878), о последних мгновеньях жизни ученого рассказывается: “Беруни был тяжело болен, он доживал свои последние дни. Как-то, когда он на какой-то миг пришел в себя, его взгляд упал на друга, ученого Абулхасана Валвалижи, тогда Беруни попросил друга растолковать ему новые положения о наследстве. Абулхасан ответил, что для этого сейчас еще не время. Посмотрев на друга, Беруни сказал: “О, мой великий друг, каждый, кто приходит в этот мир, непременно когда-нибудь умрет, но разум диктует мне, что сейчас самое время осознать суть того, о чем ты когда-то мне и упоминал. Поэтому лучше мне умереть, зная об этом, чем умереть в незнании”. Затем Абулхасан начал разъяснять то, о чем просил Беруни. Спустя несколько минут, Беруни уснул вечным сном. Это была последняя беседа ученого о науке”.

Какой счастливый конец! Это был конец жизни ученого, который ушел из жизни с чувством полного удовлетворения своей деятельностью…

Введение

С давних пор внимание многих ученых привлекали вопросы измерения небесных тел (Земли, Луны, Солнца) и расстояния до них от той точки, где мы находимся. В частности, ученые Хорезмской Академии Маъмуна и, в первую очередь, ее руководитель, великий ученый Абу Райхан Беруни, оставил значительный след в этой области.

С целью измерения Земли, Луны и Солнца и определения расстояния от Земли до Солнца и Луны, Беруни создал совершенную с математической точки зрения теорию теней. Суть теории состоит в том, что, если мы от точки, где стоим, на некотором расстоянии направим на Солнце круг радиусом , то на Землю ляжет полная тень (т. е. в этой точке круг закрывает солнце полностью) или частичная тень (в этих точках солнце закрывается частично). На основании измерений размеров этих теней Беруни разработал способ вычисления расстояния от Земли до Солнца, а также способ вычисления диаметра Солнца

1 – чертеж

Здесь – диаметр Солнца, а – диаметр круга, преграды (гномона), – площадь полной тени, падающей от гномона, и – площадь частичной тени .

В трактате показана возможность успешного использования на практике и включения в современные учебные пособия по математике, созданного Беруни способа измерения радиуса Земли, расстояния от точки, на которой мы стоим, до какого-либо тела, находящегося на расстоянии от нас. Наряду с этим, в трактате даны фрагменты из его книг, высказывания, которые помогут читателю оценить величие нашего соотечественника Беруни – математика даже с современной точки зрения.

Измерение расстояния на Земле и высоты гор

Если у нас возникнет необходимость измерить высоту вертикально расположенного тела (например, минарета) , мы, отойдя к точке , (2-чертеж), расположенной на некотором расстоянии от этого тела, при помощи алидоды (нивелира) измерим угол и из уравнения , или легко сможем вычислить отрезок .

2 – чертеж

Задача более усложнится, если невозможно достичь основания вертикально расположенного тела, т. е. точки (к примеру, если необходимо определить высоту тела на противоположном берегу реки или высоту пологого склона).

Аль – Беруни в своем труде “Гномоника” подробно останавливается на подобных задачах и, в частности, приводит способы их решения из книги “Брахмассиддхата” индийского математика и астронома Брахмагупты.

По его мнению, чтобы измерить высоту тела, которое не достигает своего основания, нужно выбрать ровное место на некотором расстоянии от него (3 – чертеж).

3 – чертеж

Выбрав точку на ровном месте, вертикально к ней устанавливаем преграду (гномон) и находим его полную тень . О том, как найти точку , помогающую определить полную тень гномона , Беруни предлагает следующее:

“… нужно идти в обратном направлении от точки до того места, откуда и должны быть видны через диоптр алидоды на одном ориентире. Так как точка расположена на Земле, то для определения ее нужно лечь на землю или спуститься в яму, высотой в рост человека”. (аль – Беруни. Математические и астрономические трактаты, “Фан”, 1987, стр. 244). После того, как найдена точка , поднимаем второй гномон, равный гномону и, как прежде, определяем его тень . Из подобий , вытекают равенства:

И с их помощью несложно определить:

В своей книге “Геодезия” (ал – Беруний. Геодезия, “Фан”, 1982, с.167) ученый создал простые доступные методы измерения расстояний на поверхности Земли.

Для этого он берет квадрат с равными сторонами, вбивает тонкий гвоздь в точки и и устанавливает длинную диоптрическую алидоду в точке (4 – чертеж).

4 – чертеж

Устанавливаем квадрат в точке таким образом, чтобы точки оказались расположенными на одной прямой линии. Затем из точки , бросив камень (по словам Беруни), проводим перпендикуляр .

Из:

,

Получаем равенства

, (1)

Размер Земли

Первые попытки измерить диаметр Земли связаны с именем Эратосфена (276-196 годы до н. э). Он определил параметры Земного шара по состоянию Солнца над Асваном и Александрией.

Когда в Асвоне Солнце находится в Зените, в Александрии оно имеет наклонение по отношению к Зениту и отсюда уточнив, что на Земном шаре дуга, соединяющая Асван и Александрию, равна , т. е. она соответствует 1/50 части большой окружности Земли.

Отсюда вычислялась протяженность большой окружности Земли путем увеличения расстояния между Египтом и Александрией в 50 раз. Таким же способом Птолемей (II в. до н. э.) пытался вычислить размер Земли, и свое мнение по данной проблеме изложил в книге “География”. Ученые античного века в качестве единиц измерения использовали стадий, с течением времени, в частности, начиная с эпохи Академии “Байтул – хикма” (IX в.), в стадийном методе измерения Земли и в других единицах измерения были обнаружены ошибки и противоречия. Поэтому халиф Аль – Маъмун ибн ар-Рашид поручил ученым “Байтул-хикма” (Дома мудрецов) осуществить реальное (точное) измерение земного шара. Измерительные работы, в которых приняли участие среднеазиатские ученые, проводились вблизи Масула в Синжарской степи.

В частности, под руководством нашего земляка аль – Хорезми ученые “Байтул – хикма” успешно справились с заданием, уточнили радиус Земли, добились того, что он равен 3247 мил = 129865996 газ или 6406 км[*] ) .

На самом деле радиус экватора Земли км, а радиус полюса равен 6357 км.

Абу Райхан Беруни (973 – 1048) в своих трудах “Геодезия”, “Каноны Маъсуди” попытался обстоятельно описать измерение размеров земного шара и остановился еще на одном новом усовершенствованном методе: “что касается размеров Земли, – пишет Беруни, – до нас, [т. е. до эпохи “Байтул – хикма” – А. С], дошли лишь описания римских и индийских ученых. У римлян и индийцев единицы измерения были разными в количественном соотношении. Индийцы измеряли окружность Земли милями, включавшими в себя от одного до 8 наших милей, и в различных измерениях их мнения менялись; в каждой из пяти “Сиддихонта” окружность Земли описана с расхождениями. Римляне же измеряли ее одной мерой и называли ее “стадия “. По мнению Галена, Эратосфен осуществил измерительные работы между городами Асван и Александрией, находящимися на одном меридиане.

Если основываться на мнение Галена в “Книге доказательств”, мнение Птолемея во “Введении в искусство сфериков” и “Географии”, то между мерами наблюдается разница. Подобные противоречия пробудили желание Маъмуна вновь уделить внимание данному вопросу и решить его с помощью ученых, проделать измерения на землях Масула в Синжарских степях.

Если человек движется по прямой линии на Земле, то, на самом деле, он движется вокруг Земли по окружности. Но провести прямую линию на большое расстояние – дело очень сложное. Поэтому ученые Маъмуна в качестве ориентира определили полюс вселенной (здесь, возможно, имеется ввиду полярная звезда). Для измерения окружности они вычислили 1/360 части окружности Земли, равной Мили.

У меня появилось огромное желание самому вычислить размер Земли, и я выбрал большое ровное место в Журжане. Но из-за трудных условий пустыни, отсутствия надежных помощников, я нашел в Индии высокую гору с ровной поверхностью и использовал другой способ измерения. С вершины горы я обнаружил угол наклона соединения Неба и Земли (5-чертеж) и вычислил его как 00 34, измерил в двух местах вершину горы и вычислил ее как 652 газ плюс половину одной десятой части от него.

5 – чертеж

Высота горы, перпендикулярная сфере Земли – это линия

(6 – чертеж). Пусть – центр Земли, а – касательная к Земле с вершины горы.

6 – чертеж

Соединив линию с линией горизонта, получим треугольник . Здесь все его углы известны, поскольку угол – прямой, а угол дополняет угол наклона горизонта, т. е. ” (ал – Беруний. Šонуни – Маъсудий, 1973, Vкитоб, “Фан”, 1973, с.386-387). Таким образом, по определению синусов, вычисляется радиус Земли . Из , отсюда

или (2)

Зная высоту горы и , Беруни находит км.

В своей книге “Геодезия” Беруни, описывая поход на Рим халифа ал-Маъмуна (830 – 832), отмечает, что с ним вместе был и ученый-математик Абу Тайиб Санад ибн Али, пригласив которого, он поручил ему взобраться на гору, возвыщающуюся над морем с восточной стороны, измерить угол наклона (для точности во время захода Солнца), что он, Санад ибн Али, выполнил эту задачу, то есть он, использовав угол наклона и несколько вспомогательных треугольников, вычислил измерение радиуса Земли (ал – Беруний. Геодезия, “Фан”, 1982, с.166).

Расстояние между небесными телами

Беруни пишет: “Диаметр солнца обозначен . Поверхность Земли – , – гномон тело, дающее тень на Землю, – тень этого тела (его диаметр), – центр тени (7 – чертеж, здесь – полная тень, – часть тени). Если нам известны ,, и , то мы определим расстояние от Солнца до Земли и диаметр Солнца* ) .

7 – чертеж

Действительно, если провести , то и известно. Его отношение к , такое же, как к . Значит, известны и треугольник . Отношение и такое же, как к . Итак, , а значит известна” (аль – Беруни. Математические и астрономические трактаты, “Фан”, 1987, стр.210).

По утверждению Беруни, ~, отсюда вытекают равенства

Или

или

Из получаются равенства

или

или

С помощью этих уравнений мы легко можем определить расстояние от Солнца до Земли , радиус Солнца .

, , (3)

Где

Если мы острые углы при и обозначим через и , применив к теорему синусов, можно переписать формулы (3) в следующем виде:

. (4)

И, наконец, продолжив прямые линии или , определим точку , проведем прямую . Проведя перпендикуляр ^, и пользуясь определением , получим формулы

(5)

Где

Формулы (3), (4), (5) – это формулы измерения расстояния между Землей и небесными светилами Луной и Солнцем, и размеров Луны и Солнца.

К сожалению, на практике из-за дальности расстояния до Луны и Солнца, а также ввиду использования простых приборов, величины и или углы и в формулах почти равны друг другу, а значит знаменатели дробей почти равны 0. Поэтому в эпоху Беруни не было возможности для применения этих формул в работах по измерению небесных тел. Хотя в указанной книге Беруни обстоятельно изложил попытки предшественников по измерению небесных тел, недостатки в их способах, и предложил удобные и простые в теоретическом плане формулы, он не приводит конкретных цифр измерений Луны и Солнца.

Тем не менее, предложенными формулами можно пользоваться для измерения тел, до которых невозможно добраться и для вычисления расстояния до них. В этой связи было бы целесообразно называть эти формулы в науке формулами Беруни и на основе этого теорию теней (гномонику) связать с именем Беруни.

* ) Зулхижжа – название 11 месяца мусульманского лунного календаря (хиджры).

[*] ) Ученые современности признали, что 1 мил =400 газ =1973,2 (см: Хинц. “Мусульманские меры”).

* ) Вышеуказанные ,, и размеры, обеспечивающие возможность измерения Земли.


Теория теней Беруни