Вариационные ряды

Задание № 1.

По данной выборке:

А) Найти вариационный ряд;

Б) Построить функцию распределения;

В) Построить полигон частот;

Г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

А) построение ранжированного вариационного ряда:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9

Б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Таблица 2

Xj 1-2 (+) 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 Итого
Fj 11 7 1 5 3 7 6 2 42

Середина интервала

Xj ‘

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5
Xj ‘fj 16,5 17,5 3,5 22,5 16,5 45,5 45 17 184

Накопленная частота

Fj ‘

11 18 19 24 27 34 40 42

В) построение функции распределения:

С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.

Диаграмма 1

В) построение полигона частот:

Диаграмма 2

Г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:

Задание № 2.

По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98

Таблица 1.

78 80 83 84 84 86 88 88 89 89 91 91 92 92 94 94 96 96 96 97 97 99 99 101 102
102 104 104 105 105 107 109 110 110 115 120 76 78 81 83 84 86 86 88 88 89 89 91 92 92
92 94 94 96 96 97 97 99 99 99 101 102 104 104 105 105 107 107 110 110 112 115 75 78 80
83 84 86 86 88 88 89 91 91 91 92 92 94 94 96 96 97 97 99 99 101 101 102 102 104
104 105 107 109 109 112 115 117 73 81 84 84 86 88 89 91 91 92 94 96 96 97 99 101 101
104 105 105 107 107 110 117 123 67 78 81 81 83 84 84 86 86 88 88 88 89 89 91 91 91
92 92 92 94 94 94 96 96 97 97 97 99 99 99 101 101 102 102 104 104 104 105 105 107 107
109 109 110 110 113 118 121

№=182

Решение.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Определим величины интервала:

Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.

Таблица 2.

Номер интервала Xj Fj X’j X’j fj F’j
1 2 3 4 5 6
1 67-74 (+) 2 70,5 141 2
2 74-81 12 77,5 930 14
3 81-88 30 84,5 2535 44
4 88-95 40 91,5 3660 84
5 95-102 47 98,5 4629,5 131
6 102-109 32 105,5 3376 163
7 109-116 13 112,5 1462,5 176
8 116-123 6 119,5 717 182
Итого 182 17451

Условные обозначения в таблице: xj – установленные интервалы; fj – частота событий; x’j – середина интервала; f’j – накопленная частота.

На основании полученных данных построим таблицу 2.

Значения и находим по таблице значений функции Лапласа.

Pj определяется разностью и , а f’j = Pj * n.

Таблица 3.

Номер интервала Границы интервала Pj F’j
1 2 3 4 5 6 7 8
1 67-74 -2,26 -1,70 -0,4881 -0,4554 0,0327 5,9514
2 74-81 -1,70 -1,16 -0,4554 -0,3770 0,0784 14,2688
3 81-88 -1,16 -0,61 -0,3770 -0,2291 0,1479 26,9178
4 88-95 -0,61 -0,06 -0,2291 -0,0279 0, 2012 38,0268
5 95-102 -0,07 0,47 -0,0279 0,1808 0, 2087 37,9834
6 102-109 0,47 1,02 0,1808 0,3461 0,1653 30,0846
7 109-116 1,02 1,57 0,3461 0,4418 0,0957 17,4174
8 116-123 1,57 2,12 0,4418 0,4830 0,0412 7,4984
Итого

Условные обозначения в таблице:

Xнj – нижняя граница интервала;

Xвj – верхняя граница интервала;

Tнj и tвj – нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;

и – значение интегральной функции Лапласа для tнj и tвj ;

Pj – оценка вероятности попадания в интервал;

F’j – частота теоретического распределения.

Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия “хи-квадрат”, предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f’j ³ 5.

Таблица 4.

Номер интервала Эмпирические частоты Теоретические частоты
1 2 6 16 2,67
2 12 14 4 0,29
3 30 27 9 0,33
4 40 38 4 0,1
5 47 38 81 2,13
6 32 30 4 0,13
7 16 25 81 3,24
Итого 182 178 8,89

X2расч = 8,89

Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:

Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:

По таблице значений функции находим соответствующее значение z. В данном случае . Тогда .

Доверительный интервал] 95,6868 – 0,164, 95,6868 + 0,164 [=

=] 95,5228, 95,8508 [.

Следовательно, 95,5228 < Mx < 95,8508 с вероятностью 0,98.

Задание № 4.

По заданной выборке (x, y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45

Таблица 5

X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y X…… y
23 -115 18 -90 10 -48 19 -91 18 -84 9 -44 12 -55 24 -115 6 -26 22 -107 18 -84
18 -83 11 -54 15 -71 13 -64 8 -51 14 -64 22 -109 8 -38 14 -64 22 -106 9 -43
16 -74 17 -85 15 -71 13 -60 11 -37 24 -118 18 -87 6 -28 7 -31 22 -109 13 -64
8 -35 8 -35 12 -56 12 -54 14 -67 14 -68 21 -102 10 -46 16 -79 17 -80 18 -87
22 -105

Решение:

На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y :

Вычислим параметр парной линейной корреляции:

Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:

, откуда

Уравнение регрессии в целом имеет вид:

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных:


Вариационные ряды