Вариационные ряды

Задание № 1.

По данной выборке:

А) Найти вариационный ряд;

Б) Построить функцию распределения;

В) Построить полигон частот;

Г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

А) построение ранжированного вариационного ряда:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9

Б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Таблица 2

Xj1-2 (+)2-33-44-55-66-77-88-9Итого
Fj11715376242

Середина интервала

Xj ‘

1,52,53,54,55,56,57,58,5
Xj ‘fj16,517,53,522,516,545,54517184

Накопленная частота

Fj ‘

1118192427344042

В) построение функции распределения:

С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.

Диаграмма 1

В) построение полигона частот:

Диаграмма 2

Г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:

Задание № 2.

По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98

Таблица 1.

7880838484868888898991919292949496969697979999101102
1021041041051051071091101101151207678818384868688888989919292
92949496969797999999101102104104105105107107110110112115757880
8384868688888991919192929494969697979999101101102102104
104105107109109112115117738184848688899191929496969799101101
1041051051071071101171236778818183848486868888888989919191
9292929494949696979797999999101101102102104104104105105107107
109109110110113118121

№=182

Решение.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Определим величины интервала:

Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.

Таблица 2.

Номер интервалаXjFjX’jX’j fjF’j
123456
167-74 (+)270,51412
274-811277,593014
381-883084,5253544
488-954091,5366084
595-1024798,54629,5131
6102-10932105,53376163
7109-11613112,51462,5176
8116-1236119,5717182
Итого18217451

Условные обозначения в таблице: xj – установленные интервалы; fj – частота событий; x’j – середина интервала; f’j – накопленная частота.

На основании полученных данных построим таблицу 2.

Значения и находим по таблице значений функции Лапласа.

Pj определяется разностью и , а f’j = Pj * n.

Таблица 3.

Номер интервалаГраницы интервалаPjF’j
12345678
167-74-2,26-1,70-0,4881-0,45540,03275,9514
274-81-1,70-1,16-0,4554-0,37700,078414,2688
381-88-1,16-0,61-0,3770-0,22910,147926,9178
488-95-0,61-0,06-0,2291-0,02790, 201238,0268
595-102-0,070,47-0,02790,18080, 208737,9834
6102-1090,471,020,18080,34610,165330,0846
7109-1161,021,570,34610,44180,095717,4174
8116-1231,572,120,44180,48300,04127,4984
Итого

Условные обозначения в таблице:

Xнj – нижняя граница интервала;

Xвj – верхняя граница интервала;

Tнj и tвj – нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;

и – значение интегральной функции Лапласа для tнj и tвj ;

Pj – оценка вероятности попадания в интервал;

F’j – частота теоретического распределения.

Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия “хи-квадрат”, предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f’j ³ 5.

Таблица 4.

Номер интервалаЭмпирические частотыТеоретические частоты
126162,67
2121440,29
3302790,33
4403840,1
54738812,13
6323040,13
71625813,24
Итого1821788,89

X2расч = 8,89

Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:

Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:

По таблице значений функции находим соответствующее значение z. В данном случае . Тогда .

Доверительный интервал] 95,6868 – 0,164, 95,6868 + 0,164 [=

=] 95,5228, 95,8508 [.

Следовательно, 95,5228 < Mx < 95,8508 с вероятностью 0,98.

Задание № 4.

По заданной выборке (x, y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45

Таблица 5

X…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… yX…… y
23-11518-9010-4819-9118-849-4412-5524-1156-2622-10718-84
18-8311-5415-7113-648-5114-6422-1098-3814-6422-1069-43
16-7417-8515-7113-6011-3724-11818-876-287-3122-10913-64
8-358-3512-5612-5414-6714-6821-10210-4616-7917-8018-87
22-105

Решение:

На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y :

Вычислим параметр парной линейной корреляции:

Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:

, откуда

Уравнение регрессии в целом имеет вид:

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных:


Вариационные ряды