Визуализация численных методов

Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Факультет телекоммуникации, информатики и управления

Кафедра организации управления связи

По курсу: “Информатика”

По теме: “Визуализация численных методов”

Написал:

Плишкин М. Ю

Группа МЕ-72

Преподаватель:

Кандидат технических наук, доцент

Е. Е. Минина

Г. Екатеринбург. 2010 г.

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

1.1 Метод Эйлера

1.2 Метод Рунге – Кутта

2. Блок-схемы

3. Виды, формы

3.1 Начальная форма

3.2 Конечная форма

4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

Заключение

Введение

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) ее производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

1. Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить ОДУ вида y` = 4y/x с заданными начальными значениями x0=1, xk=1.4, y0=2, h=0.05. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения y=x^4с. Требуется решить уравнение двумя методами: Эйлера модифицированного и Рунге – Кутта четвертого порядка, сравнить результаты и сделать вывод какой метод эффективнее использовать, построить графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

Y`=f(x, y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой,

Y=k*x+b,

Обозначается как “k”)(рис 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши

Существующие решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывная в некоторой области R, определяемой неравенствами |x – x0| < a; |y – y0| > b, то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности |x – x0| < h, где h > 0.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0,X] – области непрерывного изменения аргумента x множеством wh, состоящего из конечного числа точек x0<x1<…<xn=X – сеткой.

При этом xi называют узлами решетки.

Задача Коши, определенная ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется ее дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2,…,yn – приближенные значения функции в узлах сетки.

1.1 Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

Y`=f(x, y)

С начальным условием

Y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введем обозначения:

Xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,…,

Xi – узлы сетки,

Yi – значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом α. При этом

Tgα=f(xi, yi) (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда

Y i+1=yi+Δy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС

Tgα= Δy/h (3).

Приравниваем правые части (1) и (3). Получим

Δy/h= f(xi, yi).

Отсюда

Δy= f(xi, yi)*h.

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

Y i+1=yi+ h*f (xi, yi) (4).

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Рисунок 2. Метод Эйлера

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения ОДУ. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений дляi-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

1.2 Метод Рунге – Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x, y) с начальным условием y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введем обозначения:

Xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,…,

Xi – узлы сетки,

Yi – значение интегральной функции в узлах.

Проведем решение в несколько этапов.

Обозначим точки: A(xi, yi), B(xi+1,yi+1), C, D, E.

Через точку А проведем прямую под углом α, где tg α = f(xi, yi).

На прямой (1) найдем точку С. Через точку С проведем прямую под углом α1, где

Tg α1 = f(xi+h/4, yi+h/4*f(xi, yi).

Через точку А проведем прямую параллельную последней прямой.

Найдем точку D на прямой (2) и через нее проведем прямую под углом α2, где

Tg α2 = f(xi+h/2, yi+h/2*f(xi, yi)).

Через точку А проведем прямую параллельную последней прямой.

По примеру, описанному выше, построим прямую, которая пересечется с прямой x = xi+1. Эта точка и будет решением дифференциального уравнения при x = xi+1.

Согласно методу Рунге – Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяется по формуле:

Y i+1=yi+Δy,

Где

Δy=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6, i=0,1,2,…

А числа k1(i),k2(i),k3(i),k4(i) на каждом шаге вычисляются по формулам:

K1=h*f(xi, yi)

K2 =h*f(xi+h/2,yi+k1/2)

K3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)

K4 =h*f(xi+h, yi+k3)

Это явный четырехэтапный метод четвертого порядка точности.

2. Блок-схемы

3. Виды, формы

3.1 Начальная форма

3.2 Конечная форма

4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

Dim y(9) As Single

Dim YE(9) As Single

Dim YR(9) As Single

Dim YT(9) As Single

Dim l(9) As Single

Private x0 As Single

Private Function fun(a As Single, b As Single) As Single

F = (b + 2) / (a + 1)

Fun = f

End Function

Private Sub Command1_Click()

X0 = Val(Text1.Text)

Xk = Val(Text2.Text)

Y0 = Val(Text3.Text)

H = Val(Text4.Text)

N = (xk – x0) / h

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = “x”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = “YE”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = “YR”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = “YT”

Min = y0

Max = y0

L(0) = x0

Y(0) = y0

YE(0) = y0

YR(0) = y0

YT(0) = y0

For i = 0 To N

L(i + 1) = x0 + i * h

K1 = h * fun(l(i), YR(i))

K2 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k1 / 2)

K3 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k2 / 2)

K4 = h * fun(l(i) + h, YR(i) + k3)

K = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

YR(i + 1) = YR(i) + k

YE(i + 1) = YE(i) + h * fun(l(i), YE(i))

YT(i) = (l(i + 1) + 1) * 2 – 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = l(i + 1)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = YE(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = YR(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = YT(i)

If YE(i) > Max Then max1 = YE(i)

If YE(i) < Min Then min1 = YE(i)

If YR(i) > Max Then Max2 = YR(i)

If YR(i) < Min Then Min2 = YR(i)

If YT(i) > Max Then Max3 = YT(i)

If YT(i) < Min Then Min3 = YT(i)

Next i

For i = 0 To N – 1

Px = (5415 / (xk – x0))

Py = (6705 / (max1 – min1))

U1 = (l(i) – x0) * px + 600

U2 = 7440 – (YE(i) – min1) * py

U3 = (l(i + 1) – x0) * px + 600

U4 = 7440 – (YE(i + 1) – min1) * py

Picture1.Line (u1, u2)-(u3, u4)

U5 = (l(i) – x0) * px + 600

U6 = 7440 – (YR(i) – min1) * py

U7 = (l(i + 1) – x0) * px + 600

U8 = 7440 – (YR(i + 1) – min1) * py

Picture1.Line (u5, u6)-(u7, u8)

U9 = (l(i) – x0) * px + 600

U10 = 7440 – (YT(i) – min1) * py

U11 = (l(i + 1) – x0) * px + 600

U12 = 7440 – (YT(i + 1) – min1) * py

Picture1.Line (u9, u10)-(u11, u12)

Next i

End Sub

Заключение

В данной курсовой рассматривались два метода решения ОДУ с начальными условиями, то есть задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге – Кутта четвертого порядка.

Данные полученные этими методами идентичны друг другу, но с точки зрения простоты использования метод Эйлера гораздо проще в описании, чем метод Рунге – Кутта четвертого порядка.

Если посмотреть на графики и значения в точках, то можно убедится в том что методы почти точно определяют значения в у, и графики почти совпадают, имея небольшой угол отклонения.


Визуализация численных методов