Вычисление электрической энергии и электрических сил

.

М. И. Векслер, Г. Г. Зегря

Полная энергия заряженной системы определяется как

(24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all – напротив, потенциал всех тел, кроме i-го:

W = (25)
=

При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия – формально – равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.

В случае двух тел энергия их взаимодействия – это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1:

(26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что – с точностью до знака – то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое:

(27)

Здесь – поле, создаваемое одним первым, а – одним вторым телом.

Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.

Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле:

=
=

Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r<R:

φ(r) =

Имея потенциал и записав dq как

Dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ

Можно найти энергию шара непосредственным интегрированием:

Wown =

Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.

Ответ: , , Плоскости.

Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.

Решение: Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити:

Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить – вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда

Dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ

Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге дает:

Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно:

После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы:

=
=

Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить , с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо – в соответствии с третим законом Ньютона.

Список литературы

1. И. Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. – 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. – 416 с.

2. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М. М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. – 503 с.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. – 661 с.


Вычисление электрической энергии и электрических сил