Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.

Уральский Государственный Технический Университет – УПИ.

Реферат

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

Выполнил:

Студент группы Х-149

Покровский П. В.

Проверил:

Преподаватель кафедры ВМ и УМФ

Пироговская Л. М.

Екатеринбург.

1999.

1. Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P1 (x1 ,y1 ); P2 (x2 ,y2 ); … , Pn (xn, yn )

C массами m1 ,m2 ,m3 , . . . , mn.

Произведения xi mi и yi mi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

2. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1 (x), y=f2 (x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1 , . . . , x=xn =b на полоски ширины Dx1, Dx2 , . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2 (x)-f1 (x), где x, то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2, … ,n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при, получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т. е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1 , P2 , . . ., Pn c массами m1 , m2 , . . ., mn определяются по формулам

.

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

(*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g.

Если же поверхностная плотность переменна:

То соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

И

Называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

4. Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II. Примеры.

1)

Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2 +Y2 =a2 , расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)

Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2 =ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)

Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

Полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)

Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии.

Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т. е. Xc = 0. Остается найти. Имеем тогда длина дуги

Следовательно,

5)

Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

.

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т. е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть 2, “Высшая школа”, Москва, 1999.

2. Пискунов Н. С. “Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов”, том 2, “Наука”, Москва, 1965


Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры