Вычисление случайных величин

Задача №1.

Двумерная случайная величина (X, Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:

Где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия

или

Следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X, Y):

Вычислим плотность составляющей X:

При ,

Откуда плотность составляющей X-

Вычислим плотность составляющей Y:

При ,

При ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

При , случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X, Y):

Тогда ковариация: ,

А значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y – зависимые, но некоррелированные.

Задача №2

Двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующее распределение вероятностей:

YX
3689
-0,20,0350,0290,0480,049
0,10,0830,1070,0930,106
0,30,0950,1180,1290,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X3689
0,2130,2540,2700,263

Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Y-0,20,10,3
0,1610,3890,450

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:

2.

Математическое ожидание случайной величины Y:

3. Дисперсия случайной величины X:

4. Дисперсия случайной величины Y:

5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X)3-M(X)6-M(X)8-M(X)9-M(X)
0,2130,2540,2700,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y)-0,2-M(Y)0,1-M(Y)0,3-M(Y)
0,1610,3890,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)]1,2608730,153873
P0,0350,083
-0,5841270,2357730,028773-0,109227-0,447627
0,0950,0290,1070,1180,048
-0,0546270,207373-0,789327-0,0963270,365673
0,0930,1290,0490,1060,108

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Найдем ковариацию:

Найдем коэффициент корреляции:

Ответ: -0,028.

Задача №3

Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)
22,5-25,525,5-28,528,5-31,531,5-34,534,5-37,5
117,5-122,513
122,5-127,5261
127,5-132,5155
132,5-137,51672
137,5-142,5142
142,5-147,511
147,5-152,51

Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

– написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

– вычертить их графики и определить угол между ними;

– по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя –

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Для веса Y получим:

1. Выборочная средняя –

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Найдем значения коэффициентов регрессии:

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:

– угол между прямыми регрессии.

Следовательно, связь между X и Y не тесная.


Вычисление случайных величин