Вычисления по теории вероятностей

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

А) ровно 2 изделия;

Б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

M – кол-во благоприятных исходов события А;

N – количество всех возможных исходов;

Б)

Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,

;

– кол-во благоприятных исходов события ;

– кол-во благоприятных исходов события ;

– кол-во благоприятных исходов события ;

N’ – количество всех возможных исходов;

Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:

Где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали.

; (т. к. ) = 1% = 0.01)

;

;

Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:

Где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали.

; (согласно условию)

;

;

Согласно формуле Байеса:

Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.

Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:

Где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придется чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.

.

Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.

Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.

Магазин №1

Магазин №2

20,35

20,01

20,60

23,55

32,94

25,36

37,56

30,68

40,01

35,34

25,45

23,20

Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н0 и Н1 :

Н0 : a1 = a2

Н1 : a1 ≠ a2

Xi

Xi-a1

(xi-a1)2

Yi

Yi-a2

(yi-a2)2

20,35

-9,135

83,44823

20,01

-6,35

40,32

20,6

-8,885

78,94323

23,55

-2,81

7,896

32,94

3,455

11,93703

25,36

-1

1

37,56

8,075

65,20563

30,68

18,66

40,01

10,525

110,7756

35,34

4,32

80,64

25,45

-4,035

16,28123

23,20

8,98

9,98

176,91

366,591

158,14

-3,16

158,496

A1 = = = 29,485, a2 = =

1 = = 73.32

2 = =

N 1 = n 2 = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:

ZВ = * =

Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1 +n2 -2)= 2.228.

Следовательно, так как ZВ =0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0 , потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

1. Построить гистограмму частот.

2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.

3. Найти оценки параметров распределения.

4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.

Интервал

Частота случайной величины

1 – 2

5

2 – 3

8

3 – 4

19

4 – 5

42

5 – 6

68

6 -7

44

7 – 8

21

8 – 9

9

9 – 10

4

1. Гистограмма частот:

2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:

Интервалы

Частота,

Mi

Середина

Интервала, xi

Xi *mi

Xi2 *mi

1

1-2

5

4,5

7,5

112,5

2

2-3

8

2,5

20

50

3

3-4

19

3,5

66,5

232,75

4

4-5

42

4,5

189

350,5

5

5-6

68

5,5

374

2057

6

6-7

44

6,5

286

1859

7

7-8

21

7,5

157,5

1181,25

8

8-9

9

8,5

76,5

650,25

9

9-10

4

9,5

38

361

N=220

1215

7354,25

Найдем оценки параметров распределения:

= = 5,523

2 = 2 = 2,925 = = 1,71

4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

Интервалы

Частоты, mi

T1

T2

Ф(t1 )

Ф(t2 )

Pi

1

-∞ – 2

5

-∞

-2,06

0

0,0197

0,0197

2

2-3

8

-2,06

-1,47

0,0197

0,0708

0,0511

3

3-4

19

-1,47

-0,89

0,0708

0,1867

0,1159

4

4-5

42

-0,89

-0,31

0,1867

0,3783

0,1916

5

5-6

68

-0,31

0,28

0,3783

0,6103

0,232

6

6-7

44

0,28

0,86

0,6103

0,8051

0,1948

7

7-8

21

0,86

1,45

0,8051

0,9265

0,1214

8

8-9

9

1,45

2,03

0,9265

0,9788

0,0523

9

9-∞

4

2,03

0,9788

1

0,0212

Где: t1 = , t2 = , ai, bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона.

Pi = Ф(t2 ) – Ф(t1 )

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:

№ интервала

Pi

Mi

N* pi

1

2

0,0708

13

15,57

0,4242

3

0,1159

19

25,5

1,6569

4

0,1916

42

42,15

0,0005

5

0,232

68

51,04

5,6336

6

0,1948

44

42,86

0,0303

7

0,1214

21

26,71

1,2207

8

9

0,0735

13

16,17

0,6214

9,5876

Согласно расчетам, = = 9,5876

Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.

0,95 (7-2-1) = 0,95 (4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

А) выборочное значение коэффициента корреляции;

Б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н0 и Н1 :

Н0 : a1 = a2

Н1 : a1 ≠ a2

Xi

Xi-a1

(xi-a1)2

Yi

Yi-a2

(yi-а2)2

Xi*yi

4,40

-0,476

0,2266

3,27

-0,47

0,2209

14,388

5,08

0,204

0,0416

4,15

0,41

0,1681

21,082

4,01

-0,866

0,7499

2,95

-0,79

0,6241

11,829

3,61

-1,266

1,6027

1,96

-1,78

3,1684

7,075

6,49

1,614

2,605

5,78

2,04

4,1616

37,512

4,23

-0,646

0,4173

3,06

-0,68

0,4824

12,944

5,79

0,914

0,8354

4,45

0,71

0,5041

25,765

5,52

0,644

0,4147

4,23

0,49

0,2401

23,349

4,68

-0,196

0,0384

3,54

-0,2

0,04

16,567

4,95

0,074

0,0055

4,01

0,27

0,0729

19,849

48,76

6,9371

37,4

9,6626

190,36

A1 = = 4,876, a2 = = 3,74

1 = = 0,7708

2 = = 1,0736

N 1 = n 2 = n =6

А) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции

=

Б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину

=

Получаем, что >0.6319 т. е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

А) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

Б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

α

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

0.01

3,85

8,87

21,26

6,72

0,29

15,48

7,48

0,33

0,34

1,37

Решение

А) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.

Xi

Mi

Mi xi

Mi xi2

3,85

1

3,85

14,822

8,87

1

8,87

78,677

21,26

1

21,26

451,987

6,72

1

6,72

45,158

0,29

1

0,29

0,0840

15,48

1

15,48

239,630

7,48

1

7,48

55,950

0,33

1

0,33

0,109

0,34

1

0,34

0,115

1,37

1

1,37

1,877

∑65,99

10

65,99

888,409

Математическое ожидание:

M==

Дисперсия:

δ2==

Б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.

Определим из таблиц значение , где ;

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271<M<12.927

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.


Вычисления по теории вероятностей