Задача по Экономико-математическое моделирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Вариант № .

Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг – бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль.

Решите задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи.

1. Графический метод решения

Характеристика

Бензин

Ограничения

А

Б

Алкилат

1

3

1500

Крекинг – бензина

1

1

1200

Изопентол

1

2

1300

Прибыль (за 1000л)

90

120

План

Х1

Х2

Х1 + 3х2< 1500,

Х1 + х2< 1200,

Х1 + 2х2< 1300,

Х1> 0, х2> 0.

Целевая функция:

F = 90х1 + 120х2 → max.

Строим прямые

Х1 + 3х2 = 1500, 1

Х1 + х2 = 1200, 2

Х1 +2 х2 = 1300. 3

Строим направляющий вектор q {90, 120}.

Строим прямую, перпендикулярную направляющему вектору и проходящую через область допустимых решений.

Находим оптимальный план:

Х1 + х2 = 1200, х1 = 1100,

Х1 +2 х2 = 1300. х2 = 100.

Максимальная прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100 бензина Б.

Оптимальное значение целевой функции:

F = 90х1 + 120х2 , f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000.

2. Симплекс-метод.

Характеристика

Бензин

Ограничения

А

Б

Алкилат

1

3

1500

Крекинг – бензина

1

1

1200

Изопентол

1

2

1300

Прибыль (за 1000л)

90

120

План

Х1

Х2

Ограничения:

Х1 + 3х2< 1500,

Х1 + х2< 1200,

Х1 + 2х2< 1300,

Х1> 0, х2> 0.

Целевая функция: f = 90х1 + 120х2 → max,

Введем дополнительные переменные у1 , у2 , у3 .

1х1 + 3х2 + у1 = 1500,

1х1 + 1х2 + у2 = 1200,

1х1 + 2х2 + у3 = 1300,

Х1> 0, х2> 0,

У1> 0, у2> 0, у3> 0.

У1 = 1500 – (1х1 + 3х2 ),

У2 = 1200 – (1х1 + 1х2 ),

У3 = 1300 – (1х1 + 2х2 ),

Х1> 0, х2> 0,

У1> 0, у2> 0, у3> 0.

F = 0 – (-90х1 – 120х2 ) → max.

Составим симплекс таблицу:

Базисные переменные

Свободные члены

X1

X2

У1

1500

1

3

У2

1200

1

1

У3

1300

1

2

Индексная строка

0

-90

-120

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу

Базисные переменные

Свободные члены

X1

У1

X2

500

1/3

1/3

У2

700

2/3

-1/3

У3

300

1 / 3

-2/3

Индексная строка

60000

-50

40

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу

Базисные переменные

Свободные члены

У3

У1

X2

200

-1

1

У2

100

-2

1

X1

900

3

-2

Индексная строка

105000

150

-60

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу

Базисные переменные

Свободные члены

У3

У2

X2

100

1

-1

У1

100

-2

1

X1

1100

-1

2

Индексная строка

111000

30

60

Найдено оптимальное решение.

3. Постановка и решение двойственной задачи.

Основная задача:

Х1 + 3х2< 1500,

Х1 + х2< 1200,

Х1 + 2х2< 1300,

Х1> 0, х2> 0.

Целевая функция:

F = 90х1 + 120х2 → max.

Целевая функция двойственной задачи:

G = 1500y1 + 1200y2 + 1300y3 → min.

у1

1 1 1 ∙ у2

3 1 2 у3

1у1 + 1у2 + 1у3 > 90,

3у1 + 1у2 + 2у3 > 120.

Переход от неравенства к равенству:

Х1 + 3х2 + х3 = 1500,

Х1 + х2 + х4 = 1200,

Х1 + 2х2 + х5 = 1300,

Хi> 0.

1у1 + 1у2 + 1у3 – у4 = 90,

3у1 + 1у2 + 2у3 – у5 = 120.

Уi> 0.

Осн.

Осн.

Доп.

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

1100

100

100

0

0

Двойст.

0

0

0

60

30

У4

У5

У1

У2

У3

Доп.

Осн.


Задача по Экономико-математическое моделирование