Задачи по Математике 2

Часть 1.

Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.

1.1.(х0 , у0 ) равно:

Ответ: 0

1.2.[z0 , y0 ] равно:

Ответ: – х0

1.3.[z0 , x0 ] равно:

Ответ: y0

1.4.(х0 ,z0 ) равно:

Ответ: 0

1.5.(y0 ,z0 ) равно:

Ответ: 0

1.6.[z0 ,r0 ] равно:

Ответ: Ф0

1.7.[Ө0 , r0 ] равно:

Ответ: – Ф0

1.8.(z0 ,Ф0 ) равно:

Ответ: 0

1.9.[ Ф0 , Ө0 ] равно:

Ответ: – r0

1.10.(х0 , [y0 ,z0 ]) равно:

Ответ:1, (z0 , [x0 ,y0 ])

1.11. (x0 , [z0 ,y0 ]) равно:

Ответ: (y0 ,[x0 ,z0 ]), -1

1.12. (x0 , [y0 ,y0 ]) равно:

Ответ: 0

1.13. [x0 , [y0 ,z0 ]] равно:

Ответ: 0, y0 (x0 ,z0 ) – z0 (x0 ,y0 )

1.14. (r0 ,[z0 ,Ф0 ]) равно:

Ответ:-1, (Ф0 , [r0 , z0 ])

1.15. (r0 , [Ө0 , Ф0 ]) равно:

Ответ: 1, (Ф0 , [r0 , Ө0 ])

1.16. (x0 , [y0 ,z0 ]) равно: Ответ:1

1.17. (x0 ,[y0 , x0 ]) равно:

Ответ: 0

1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:

Ответ: h1 =1, h2 =1, h3 =1

1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:

Ответ: h1 =1, h2 =r, h3 =1

1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:

Ответ: h1 =1, h2 =r, h3 =rsinѲ

1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:

Ответ: ax bx +ay by +az bz

1.22. [a, b] – векторное произведение векторов aи b в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (x0 y­0 z0 ….)

1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b, c в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (ax bx cx…..)

1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:

Ответ: А х (В х С) = В(А, С) – С(А, В)

1.25. (А,[A, B])равно:

Ответ: 0

1.26. (A,[B, B]) равно:

Ответ: 0

1.27. (A,[B, C]) равно:

Ответ: (C,[A, B]), (B,[C, A])

1.28. A x (B x C) равно:

Ответ: B(A, C) – C(A, B)

1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А, В и С равен:

Ответ: |(A,[B, C])|

1.30. Угол между векторами А и В равен:

Ответ: ф=arcsin |[A, B]|/|A| x |B|

Ф= arccos (A, B)/|A| x |B|

1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна:

Ответ: (А, В) /|B|

1.32. Орт радиус-вектора r=x0 x+ y0 y + z0 z равен:

Ответ:длинное выражение с корнями

1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:

Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф – угол между векторами

|[A, B]|

1.34. Если [A, B]=C, то [B, A] равно:

Ответ: – С, – С0 |C|∂

Часть 2.

Векторный анализ:

– Скалярное поле. Градиент

– Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона.

2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен:

Ответ: x0 ∂ψ/∂x+y0 ∂ψ/∂y+z0 ∂ψ/∂z

2.2.gradr – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x0 x+y0 y+z0 z, равен:

Ответ: x0 ∂r/∂x+ y0 ∂r/∂y+ z0 ∂r/∂z, r0

2.3. grad ln(r), где r =|r|, r0 =r/r, r=x0 x+y0 y+z0 z, равен:

Ответ: r0 /r

2.4. grad sin r, где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x0 x+y0 y+z0 z равен:

Ответ: d sin r/ dr grad r, (cos r) r0

2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x0 x+y0 y+z0 z равен:

Ответ: – r0 /r^2

2.6. [gradr, r] равно:

Ответ: 0

2.7.Производная скалярной функции U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x0 x+y0 y+z0 zравна:

Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z0 ), ∂U/∂z=z/r

2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 z равна:

Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r0 ), ∂U/∂r=-1/r^2

2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:

Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x0 ), ∂U/∂x=x/r

2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 zравна:

Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r0 )

2.11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 zравна:

Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r0 ), ∂U/∂r=-sinr

2.12. divF – дивергнеция вектора F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz равна:

Ответ: ∂Fx /∂x+∂Fy /∂y+∂Fz /∂z

2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если:

Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона

2.14. div (r), где r=x0 x+ y0 y+z0 z, равна:

Ответ:3, drx /dx+dry /dy+drz /dz

2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна:

Ответ: 3sin(r)+r cos(r), sin(r)div(r)+(r, grad(sin(r)))

2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна:

Ответ:(lnr)div r+(grad lnr, r), 3 ln r+1/r(r/r, r)

2.17. Поток вектора F через поверхность S – это:

Ответ: Ф=∫(F, n0 )ds, где n0 – единичный вектор нормали n к поверхности S

2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r0 =r/r, где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна:

Ответ: div r0 =1/r div r + (grad1/r, r), div r0 =2/r

2.19. теорема Остроградского-Гаусса это:

Ответ: ∮Fds=∫divFdv, где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V

2.20 rot F – ротор вектора F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz равен:

Ответ: матрица

2.21.Поле вектора а потенциально, если

Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция

2.22. Ротор орта радиус – вектора r0 =r/r, где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 zравен:

Ответ:rot r0 =1/rrotr+[grad 1/r, r], rot r0 =0

2.23.Теорема Стокса – это:

Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L – одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L

2.24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:

Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0

2.25. Поле радиус – вектора r=x0 x+y0 y+z0 z:

Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально

2.26. rotr, где r=x0 x+y0 y+z0 zравен:

Ответ: 0

2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 ­ z, равен:

Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r]

2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz, а перевернутый треугольник – оператор Гамильтона равно:

Ответ: rotF

2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:

Ответ: ∂­^2/∂­x^2+∂­^2/∂­y^2+∂­^2/∂­z^2

2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен:

Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0

2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна:

Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ

2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:

Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F

2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен:

Ответ:φ gradψ+ψgradφ

2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:

Ответ:ψdivF+(gradψ,F)

2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divrotFравна:

Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг, F])

2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:

Ответ:gradψ, x0 ∂ψ/∂x+y0 ∂ψ/∂y+z0 ∂ψ/∂z

2.37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг, F), где F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz, а перев треуг – оператор Гамильтона рано:

Ответ: div F, матрица


Задачи по Математике 2